Der Basiswinkelsatz

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Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übung 11 Aufgabe 1

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten \ a und \ b kongruent zueinander:

Basiswinkelsatz00.png

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt \ M der Dreiecksseite \ c.

Basiswinkelsatz01.png

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke \overline{AMC} und \overline{BMC} kongruent zueinander sind:


Basiswinkelsatz02.png

Nachweis von \overline{AMC} \cong \overline{BMC}:


Nr. Skizze Beweisschritt Begründung
(1) Basiswinkelsatz03.png \ a \cong \ b Voraussetzung
(2) Basiswinkelsatz04.png \overline{AM} \cong \overline{MB} \ M ist Mittelpunkt von \ c
(3) Basiswinkelsatz05.png \overline{MC} \cong \overline{MC} trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4) Basiswinkelsatz06.png \overline{AMC} \cong \overline{BMC} (1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch \alpha \cong \beta.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes