Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes: Unterschied zwischen den Versionen

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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====
 
===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====
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Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.
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--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)
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<br /><br />Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel '''q''' und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)
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===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
 
===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
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Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.
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--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)
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===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====
 
===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====
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[[ Lösung von Aufgabe 12.5]]
 
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::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. <br />
 
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. <br />
 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
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===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
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Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden.  <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.
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<u>Voraussetzung:</u>
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(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>
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[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]
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<u>Behauptung:</u>
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<math>\ a  \| b</math>
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<u>Annahme:</u>
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<math>a\not\| b</math>
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Unter Berücksichtigung von <math>a \not\equiv b</math>  hätten die beiden Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entsprechend der Annahme genau einen Punkt <math>\ C</math> gemeinsam.
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[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_02.png|400 px]]
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Bezüglich des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> ist <math>\ \beta</math> nun ein Außenwinkel.
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Der Winkel <math>\ \alpha</math> ist bezüglich <math>\ \beta</math> ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
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Nach dem [[Der_schwache_Außenwinkelsatz|schwachen Außenwinkelsatz]] ist jetzt <math>\ \ beta</math> größer als <math>\ \ alpha</math>. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): <math>\ \alpha \cong \beta</math>.

Aktuelle Version vom 23. Juli 2010, 21:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel
Wechselwinkel
entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist. ---mogli- 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)

Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel q und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --Barbarossa 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. ---mogli- 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Lösung von Aufgabe 12.5

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
Es seien \ a und \ b zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade \ c jeweils geschnitten werden. Es seien ferner \ \alpha und \ \beta zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von \ c mit \ a und \ b entstehen mögen.
Wenn die beiden Stufenwinkel \ \alpha und \ \beta kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden \ a und \ b parallel zueinander.
Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien \ a, b und \ c drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade \ c möge \ a in dem Punkt \ A und die Gerade \ b in dem Punkt \ B schneiden. \ \alpha und \ \beta sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von \ a und \ b mit \ c entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) \ \alpha \cong \beta

Umkehrung stufenwinkelsatz 01.png

Behauptung:

\ a \| b

Annahme:

a\not\| b

Unter Berücksichtigung von a \not\equiv b hätten die beiden Geraden \ a und \ b entsprechend der Annahme genau einen Punkt \ C gemeinsam.

Umkehrung stufenwinkelsatz 02.png

Bezüglich des Dreiecks \overline{ABC} ist \ \beta nun ein Außenwinkel.

Der Winkel \ \alpha ist bezüglich \ \beta ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks \overline{ABC}.

Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt \ \ beta größer als \ \ alpha. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): \ \alpha \cong \beta.

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