Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.1: Unterschied zwischen den Versionen
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(7) gR<sup>+</sup>:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene | (7) gR<sup>+</sup>:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene | ||
(8) R e gR<sup>+</sup> und P e gR<sup>+</sup> (6),(7) | (8) R e gR<sup>+</sup> und P e gR<sup>+</sup> (6),(7) | ||
| − | (9) R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup> | + | (9) R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup> und P e gQ<sup>-</sup> und P e gR<sup>+</sup> (1),(2),(3) |
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(10) gR<sup>+</sup> = gQ<sup>-</sup> (9) | (10) gR<sup>+</sup> = gQ<sup>-</sup> (9) | ||
(11) Fall 2: koll (P, Q, R) | (11) Fall 2: koll (P, Q, R) | ||
| − | (12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen: | + | (12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen: zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R)oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation |
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(13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ<sup>-</sup> | (13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ<sup>-</sup> | ||
(14) zw (Q,P,R) | (14) zw (Q,P,R) | ||
-> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR | -> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR | ||
| − | -> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {}, | + | -> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss, Def. Teilmenge |
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(15) zw (P,R,Q) | (15) zw (P,R,Q) | ||
-> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ | -> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ | ||
| − | -> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {}, | + | -> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {}, dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n.Vss.,Def.Vereinungungsmenge |
| − | + | (16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Vss.,(14),(15) | |
| − | (16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} | + | (17) P und Q liegen in derselben Halbebene (16) |
| − | + | (18) R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup> und P e gQ<sup>-</sup> und P e gR<sup>+</sup> n. Vss.,(17) | |
| − | (17) P und Q liegen in derselben Halbebene | + | (19) gQ<sup>-</sup> = gR<sup>+</sup> (18) |
| − | (18) R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup> | + | |
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| − | (19) gQ<sup>-</sup> = gR<sup>+</sup> | + | |
Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ<sup>+</sup> = gR<sup>-</sup> | Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ<sup>+</sup> = gR<sup>-</sup> | ||
Stimmt das so? | Stimmt das so? | ||
Version vom 25. Juni 2010, 20:47 Uhr
Lösungsvorschlag:
Vss.: gQ+ , gQ- , R Element gQ- und R e gR+mit R nicht Element g Beh.: gR+ = gQ- und gR- = gQ+
(1) R e gQ- n. Vss
(2) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} (1), n.Def. Halbebene
(3) Es sei P ein Punkt e gQ-
(4) Fall 1: nkoll(P, Q, R)
(5) Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Def. Halbebene, (3)
(6) Strecke PR geschnitten g = {} n. Axiom III/2, (2),(4),(5)
(7) gR+:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene
(8) R e gR+ und P e gR+ (6),(7)
(9) R e gQ- und R e gR+ und P e gQ- und P e gR+ (1),(2),(3)
(10) gR+ = gQ- (9)
(11) Fall 2: koll (P, Q, R)
(12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen: zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R)oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation
(13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ-
(14) zw (Q,P,R)
-> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR
-> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss, Def. Teilmenge
(15) zw (P,R,Q)
-> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ
-> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {}, dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n.Vss.,Def.Vereinungungsmenge
(16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Vss.,(14),(15)
(17) P und Q liegen in derselben Halbebene (16)
(18) R e gQ- und R e gR+ und P e gQ- und P e gR+ n. Vss.,(17)
(19) gQ- = gR+ (18)
Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ+ = gR-
Stimmt das so?
