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| − | Lösungsvorschlag:
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| − | Vss.: gQ<sup>+</sup> , gQ<sup>-</sup> , R Element gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup>mit R nicht Element g
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| − | Beh.: gR<sup>+</sup> = gQ<sup>-</sup> und gR<sup>-</sup> = gQ<sup>+</sup>
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| − | <ref name="">1</ref> R e gQ<sup>-</sup> n. Vss
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| − | <ref name="">2</ref> Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} <ref name="">1</ref>, n.Def. Halbebene
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| − | <ref name="">3</ref> Es sei P ein Punkt e gQ<sup>-</sup>
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| − | <ref name="">4</ref> Fall 1: nkoll(P, Q, R)
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| − | <ref name="">5</ref> Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Def. Halbebene, <ref name="">3</ref>
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| − | <ref name="">6</ref> Strecke PR geschnitten g = {} n. Axiom III/2, <ref name="">2</ref>, <ref name="">4</ref>,
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| − | <ref name="">5</ref>
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| − | <ref name="">7</ref> gR<sup>+</sup>:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene
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| − | <ref name="">8</ref> R e gR<sup>+</sup> und P e gR<sup>+</sup> <ref name="">6</ref>, <ref name="">7</ref>
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| − | <ref name="">9</ref> R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup>
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| − | und P e gQ<sup>-</sup> und P e gR<sup>+</sup> <ref name="">1</ref>, <ref name="">2</ref>, <ref name="">3</ref>
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| − | <ref name="">10</ref> gR<sup>+</sup> = gQ<sup>-</sup> <ref name="">9</ref>
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| − | <ref name="">11</ref> Fall 2: koll (P, Q, R)
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| − | <ref name="">12</ref> Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen:
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| − | zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R) oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation
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| − | <ref name="">13</ref> zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu <ref name="">3</ref>, dass P e gQ<sup>-</sup>
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| − | <ref name="">14</ref> zw (Q,P,R)
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| − | -> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR
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| − | -> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss, Def. Teilmenge
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| − | <ref name="">15</ref> zw (P,R,Q)
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| − | -> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ
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| − | -> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss., Def.
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| − | Vereinungungsmenge
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| − | <ref name="">16</ref> Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}
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| − | und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Vss.,<ref name="">14</ref>,<ref name="">15</ref>
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| − | <ref name="">17</ref> P und Q liegen in derselben Halbebene <ref name="">16</ref>
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| − | <ref name="">18</ref> R e gQ<sup>-</sup> und R e gR<sup>+</sup>
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| − | und P e gQ<sup>-</sup> und P e gR<sup>+</sup> n. Vss., <ref name="">17</ref>
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| − | <ref name="">19</ref> gQ<sup>-</sup> = gR<sup>+</sup> <ref name="">18</ref>
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| − | Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ<sup>+</sup> = gR<sup>-</sup>
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| − | Stimmt das so?
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