Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.1

Lösungsvorschlag:

Vss.: gQ⁺ , gQ^- , R Element gQ^- und R e gR⁺mit R nicht Element g Beh.: gR⁺ = gQ^- und gR^- = gQ⁺

(1) R e gQ^- n. Vss (2) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {} (1), n.Def. Halbebene (3) Es sei P ein Punkt e gQ^- (4) Fall 1: nkoll(P, Q, R) (5) Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Def. Halbebene, (3) (6) Strecke PR geschnitten g = {} n. Axiom III/2, (2),(4),(5) (7) gR⁺:{P/Strecke RP geschnitten mit g ={}} n. Def. Halbebene (8) R e gR⁺ und P e gR⁺ (6),(7) (9) R e gQ^- und R e gR⁺ und P e gQ^- und P e gR⁺ (1),(2),(3) (10) gR⁺ = gQ^- (9)

(11) Fall 2: koll (P, Q, R) (12) Es gilt eine der drei möglcihen Zwischenrelationen: zw (P,Q,R) oder zw (Q,P,R)oder zw (P,R,Q) Axiom II/3, Def. Zwischenrelation (13) zw (P,Q,R) -> Widerspruch zu (3), dass P e gQ^- (14) zw (Q,P,R) -> Strecke QP ist Teilmenge von Strecke QR -> Wenn Strecke QR geschnitten g ist nicht = {},dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n. Vss, Def. Teilmenge (15) zw (P,R,Q) -> Strecke PR vereinigt mit Strecke RQ = Strecke PQ -> Wenn Strecke RQ geschnitten mit g ist nicht = {}, dann auch Strecke QP geschnitten g ist nicht = {} n.Vss.,Def.Vereinungungsmenge (16) Strecke RQ geschnitten g ist nicht = {}und Strecke PQ geschnitten g ist nicht = {} n. Vss.,(14),(15) (17) P und Q liegen in derselben Halbebene (16) (18) R e gQ^- und R e gR⁺ und P e gQ^- und P e gR⁺ n. Vss.,(17) (19) gQ^- = gR⁺ (18)

Jetzt wäre noch zu zeigen, dass qQ⁺ = gR^-

Stimmt das so?