GeometrieUndUnterrichtSS2019 01: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. Mai 2019, 00:23 Uhr

Vorbereitungsauftrag

Der Begriff Grundvorstellung steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“ in Journal für Mathematik-Didaktik und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema Grundvorstellungen (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

1. Diskutieren Sie, wie sich Flächeninhalte von Rechtecken als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte Sinnkonstituierung, Aufbau von Repräsentationen und Anwendung des Begriffs. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
2. Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des Distributivgesetz beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
3. Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ersten binomischen Formel beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
4. Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
5. Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen.

Sitzungsmaterialien

• Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019
• ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“
• PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“

Dokumentation der Sitzung

Zusammenfassung

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen besprochen und Phasen des Begriffslernens diskutiert. Weiterhin wurden geometrische Begriffe gesammelt und diskutiert.

Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten. Davon ausgehend wurden verschiedene Grundvorstellungen disktutiert. Insbesondere wurden verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zur Addition mit natürlichen Zahlen vorgeschlagen:

• Vereinigung von Mengen, Summanden und Summe als Kardinalitäten dieser Mengen

=> Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen

• Schritte die man gehen kann, Summand 1 als Startpunkt, Summand 2 als Zahl der Schritte, Summe als Zielpunkt

=> Summand als Operator

Weiterhin diskutierten die Seminarteilnehmer die Vorteile der Grundvorstellung der Multiplikation über Rechtecke. Die geometrische Konzepte die bei dieser Vorstellung oder Analogie, sind dabei das Messen, Argumentieren, Seiten und Seitenlängen, Flächeninhalte und die Zerlegungsgleichheit. Ähnliche Argumente erlauben eine visuelle Darstellung der binomischen Formeln. Vorgeschlagen wurde ebenso ein methodischer Zugang zur Verdeutlichung der Analogie zwischen Flächeninhalten von Rechtecken und Multiplikation. Beispielsweise könnten Schüler Rechtecke mit kleineren quadratischen Einheiten auslegen. Diese Einheiten lassen sich in einem ersten Schritt elementar zählen. Eine abstraktere Herangehensweise wäre die Multiplikation von Reihen und Spaltenzahl, welche einen intuitiven Zwischenschritt zur Multiplikation im reelen darstellt, welche auch im Sinne eines Spiralcurriculums zum tragen kommen könnte. Ein weiterer Vorteil der Rechtecks-Analogie ist, dass sich Rechengesetze wie Kommutativität und Distributivität visualiseren lassen. Diese Grundvorstellungen stellen einen wesentlichen Teil zum Verständnis von mathematischen Sachverhalten und Gesetzmäßigkeiten dar und erlauben es abstrakte und formale Mathematik anschaulich anzugehen.

Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe

In einer ersten Arbeitsphase ging es darum, bekannte geometrische Begrifflichkeiten zu aufzulisten. Die entstandene Sammlung ist unter dem folgenden Link zu finden:

https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff

Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens

Als wichtigstes Ziel des Begriffslernens gilt das Aufbauen von mentalen Modellen. Dazu gehören:

• Angemessene Grundvorstellungen
• Kenntnisse über Eigenschaften und Beziehungen
• Aneignung von verwandten Fähigkeiten (z.B. Rechnen, Argumentieren, Problemlösen...)

Dabei ist zu beachten, dass diese mentalen Modelle sich von Individuum zu Individuum unterscheiden können. Der Aufbau der Vorstellungen kann dabei durch Wahrnehmung von Gegenständen und Phänomenen, Handlungen an Gegenständen und durch Verbalisierung von Objekten und Phänomenen geschehen. Ein Beispiel für Verbalisierung von geometrischen Objekten ist das Zerlegen von Figuren, beispielsweise eines Parallelogramms in Dreiecke. Handlungsbezogene Zugänge zu mathematischen Konzepten haben Seminarteilnehmer beispielsweise durch das Messen des Umfangs und des Radius eines Kreises mithilfe eines Fadens in ihrer eigenen Schulzeit erlebt. Ein solcher handlungsbezogener Ansatz ist analog zum enaktiven Handeln im EIS-Prinzip zu verstehen.

Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse

In einer zweiten Arbeitsphase fanden sich die Teilnehmer in Kleingruppen zusammen, um Bücher auf Handlungsbezogene Elemente, Verbalisierungen, Begriffslernen und Aneignung sowie Training von Fähigkeiten zu untersuchen. Die dabei untersuchten Schulbücher waren:

• Buch 1
• Buch 2
• Buch 3
• Buch 4

Die konkrete Aufgabe bestand darin, ein Geometriekapitel im Buch jeweiligen Buch auszusuchen und unter dem Blickwinkel des Begriffslernens zu betrachten. Dabei stellte sich heraus, dass jedes Buch Stärken und Schwächen in verschiedenen Bereichen aufweist. Es war vorallem ein unterschiedlicher Fokus auf verschiedene Aspekte des Begriffslernens zu erkennen. Besonders tat sich Buch X hervor, welches einen sehr handlungs- und wahrnehmungsbezogenen Ansatz verfolgt, aber auch gute Möglichkeiten zum Trainieren von Fähigkeiten und Vertiefen von Verständnis bietet. Ebenso interessant war der besondere Fokus auf Einsatz von digitalen Hilfsmitteln. Größte Erkenntnis dieser Übung war, dass Lehrer nicht nur ein Buch besitzen sollten, sondern eine vielfalt von Büchern komplementär zueinander benutzen sollte.

Inhaltlicher Input (3)

In einer letzten inhaltlichen Phase, lernten die Seminarteilnehmer das van-Hiele-Modell des Begriffslernens kennen. In diesem werden verschiedene Stadien des Begriffslernens geschildert, welcher jede(r) Lernende immer wieder durchläuft, wenn sie/er mit einem neuen Sachverhalt oder Thema konfrontiert wird. Die Stadien sind:

1. Visualisation: Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Intuitives Begriffsverständnis, Prototypen basiert, keine Eigenschaften oder Beziehungen, "Vorschulstufe")
2. Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken (Inhaltliches Begriffsverständnis, Eigenschaften, Klassifizierung/Defintion mit Begründung, keine Beziehungen, Grundschule)
3. Abstraction: Geometrisch-abstrahierendes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, Beziehungen zwischen Eigenschaften, Verständnis von Klassifizierung, informelle Argumente, Mittelstufe)
4. Deduction: Geometrisch-schlussfolgerndes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, formales Begriffsverständnis, formale Beweisführung Oberstufe)
5. Rigor: Strenge, abstrakte Geometrie (Formales Begriffsverständnis, Meta-Ebene, formale Sprache, verschiedene Geometrien und Theorien, Akademia)

Dabei ist zu beachten, dass die chronologische Zusammenhang zu den verschiedenen Abschnitten der Bildungslaufbahn nicht zwingend bedeutet, dass diese Phasen in dieser Zeit durchlaufen werden. Sie gelten nur einem groben analogen Verständnis, in der sich eben diese Stadien oft wieder finden. Ebenso wird ein bereits ausgebildeter Mensch diese Stadien durchlaufen, wenn er neue Begriffe kennelernt, bevor er den Sachverhalt völlig durchdrungen und verstanden hat.

Nachbereitungsauftrag

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00) an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

Ergebnisse der Nachbereitung

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

Inhaltliche Einteilung:

Logische Einteilung

Axiomatische Einteilung

Einteilung nach Bedeutung

Zusatzmaterial

Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“ von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das van-Hiele-Modells nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

Literaturhinweise

• Zalman (1982). „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“.
• Klinger (2019). „Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
• Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik“. In Journal für Mathematikdidaktik.
• siehe auch: übergreifende Literaturhinweise