Geradenspiegelungen: Unterschied zwischen den Versionen

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::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.
 
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.
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Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer  Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.
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Wir unterscheiden drei Fälle:
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1. <math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
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Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.
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Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
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Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
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Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>
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! Beschreibung des Schrittes
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! Begründung der Korrektheit des Schrittes
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| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und  <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
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Version vom 28. Oktober 2010, 12:44 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g

Übungsaufgabe

Es sei \ P ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden \ g dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von \ P bei der Spiegelung an \ g. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei der Spiegelung aneiner Geraden \ g
(P \notin g)
Nr. Beschreibung des Schrittes Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. Wir fällen das Lot von \ P auf \ g. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden \ g bezeichnen wir mit \ L So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt \ P und der Geraden \ g. Außerdem steht das Lot senkrecht auf \ g , was die Voraussetzung dafür ist, dass \ g später Mittelsenkrechte werden kann.
2. Nun tragen wir die Strecke \overline{PL} auf der Halbgeraden \ LP^- ab Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden \ g
3. Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit \ P' \ P' ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an \ g. Das wird dadurch ersichtlich, dass \ P und \ P' den gleichen Abstand zu \ g haben und \ g somit Mittelsenkrechte der Strecke \overline{PP'} ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g)
Es sei \ g eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung \ S_g versteht man eine ....
Es sei \ g eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung \ S_g versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:

(1) Für den Fall dass P \in \ g: P = P'

(2) Für den fall dass P \notin \ g: Die Gerade \ g ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)
Jede Geradenspiegelung \ S_g ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis:

Es seien \ A, \ B zwei Punkte, die an einer Geraden \ g auf ihre Bilder \ A' und \ B' gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

1. \ A, B \in \ g

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.


2. \ A \in \ g, \ B \notin \ g

Den Schnittpunkt von \overline {BB'} mit \ g bezeichnen wir mit \ L

Beweis
Nr. Beschreibung des Schrittes Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. \ A = \ A' Definition Geradenspiegelung
2. \ |BL| = |B'L| \ g ist Mittelsenkrechte von \overline{BB'}
3. \|AL| = |A'L| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
4. \| \angle BLA| = | \angle B'LA'| = 90° \ g ist Mittelsenkrechte von \overline{BB'}
5. \overline {ABL} kongruent \overline {A'B'L} 2. + 3. + 4. + SWS
6. \ |AB| = |A'B'| 5.

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3.\ A, B \notin \ g

Den Schnittpunkt von \overline {BB'} mit \ g bezeichnen wir mit \ L

Den Schnittpunkt von \overline {AA'} mit \ g bezeichnen wir mit \ M

Beweis
Nr. Beschreibung des Schrittes Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML | = 90° \ g ist Mittelsenkrechte von \overline{AA'}
2. \overline {AML} kongruent \overline {A'ML} 1.
3. | \angle MAL| = | \angle ALB | und | \angle MA'L| = | \angle A'LB' | Wechselwinkelsatz, da \overline {AA'} || \overline {BB'}
4. | \angle MAL| = | \angle MA'L | --> | \angle ALB| = | \angle A'LB' | 2. + 3.
5. | \overline {BL}| = | \overline {B'L}| \ g ist Mittelsenkrechte von \overline{AA'}
6. | \overline {AL}| = | \overline {A'L}| 2.
7. | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}| 4. + 5. + 6. + SWS
8. | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}| 7.

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