Geradenspiegelungen (2015 16): Unterschied zwischen den Versionen

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==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==
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==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math> P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math> g</math>==
  
 
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====Übungsaufgabe:====
 
====Übungsaufgabe:====
  
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Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
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Es sei <math>P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>g</math> dieser Ebene gehört.
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Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
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Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>P</math> bei der Spiegelung an <math>g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
  
  
 
{| class="wikitable center"
 
{| class="wikitable center"
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|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,  
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|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>g</math>,  
 
<math>(P \notin g) </math>  
 
<math>(P \notin g) </math>  
 
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| 1.
 
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| Lotgerade von P auf g
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| Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>
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| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
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| Fällen des Lotes von <math>P</math> auf die Gerade <math>g</math>.
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| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
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| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
 
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| 2.
 
| 2.
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| Lotfußpunkt L
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| Lotfußpunkt <math>L</math>
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| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g
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| Einzeichnen des Lotfußpunktes <math>L</math> als Schnittpunkt der Geraden <math>g</math> mit der Lotgeraden von <math>P</math> auf <math>g</math>.
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| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
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| ...
 
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| 3.
 
| 3.
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| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
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| <math>|PL|</math> auf <math>LP^-</math> abtragen, Erhalten <math>P'</math>
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| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
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| Die Strecke <math> \overline{PL}</math> wird auf dem Strahl <math>LP^-</math> abgetragen, dadurch erhält man das Bild von <math>P</math> bei Spiegelung an <math>g</math> nämlich <math>P'</math>
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|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
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| ...
 
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==Definition des Begriffs==
 
==Definition des Begriffs==
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=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
+
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math> g</math>)=====
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::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in  g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>.
+
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math> S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:
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# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math>  
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Und für alle <math>Q \in g</math>: Q=Q'.
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# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.
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======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)======
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<math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen.
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==Geradenspiegelungen als Bewegungen==
 
==Geradenspiegelungen als Bewegungen==
 
====Satz 2.1====
 
====Satz 2.1====
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Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung.
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Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.
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====Beweis von Satz 2.1:====
 
====Beweis von Satz 2.1:====
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Es sind zwei Dinge zu zeigen:<br />
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{| class="wikitable"
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| (I) || Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade.
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| (II)|| Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.
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|}
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Es seien <math> A</math>, <math> B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math> g</math> auf ihre Bilder <math> A'</math> und <math> B'</math> durch die Spiegelung an <math>g</math> abgebildet werden.
  
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Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer  Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.
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Wir unterscheiden drei Fälle:<br />
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Wir unterscheiden drei Fälle:
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=====Bemerkung von Jessy=====
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[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?
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Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn <math>AB \perp g</math>. Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen.
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=====Fall 1=====
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::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
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'''Beweis:''' <br />
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Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d.
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:53, 16. Nov. 2012 (CET)
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=====Fall 2=====
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::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
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'''Beweis:'''
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[[Bild:Fall_2.JPG|600px]]
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In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört.
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:04, 16. Nov. 2012 (CET)
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=====Fall 3=====
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::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />
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−
 
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'''Beweis:'''
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Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B'
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[[Bild:Fall_3.JPG|800]]
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)
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Fall 3.b: A liegt zwischen B und B'
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[[Bild:Fall_3.b.JPG|1000px]]
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:35, 14. Nov. 2012 (CET)
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=====Fall 4=====
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::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />
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[[Bild:Unbenannt.JPG]]
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Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)
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Fall 1:<br />
 +
Fall 2:<br />
 +
Fall 3:
 +
====Satz 2.2====
 +
Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1.
  
 
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
 
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
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==== Satz 2.3 ====
 
==== Satz 2.3 ====
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:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
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:: Eine Geradenspiegelung <math> S_g</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math> P</math> und dem Bild von <math> S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math> P \not= S_g(P)</math> gilt.
 
<br />
 
<br />
  
 
'''Beweis'''
 
'''Beweis'''
  
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[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelbild.JPG|700px]]
 
  
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)
 
  
  

Aktuelle Version vom 16. November 2015, 13:59 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie



Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Spiegelung 01.JPG Spiegelung 02.JPG Spiegelung 03.JPG
Spiegelung 04.JPG Spiegelung 05.JPG Spiegelung 06.JPG
Spiegelung 07.JPG Spiegelung 09.JPG Spiegelung 10.JPG
Spiegelung 11.JPG Spiegelung 12.JPG

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes P bei einer Spiegelung an der Geraden g


Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei P ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden g dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von P bei der Spiegelung an g. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


Konstruktion des Bildes eines Punktes P bei der Spiegelung an einer Geraden g, (P \notin g)
Nr. Beschreibung des Schrittes Genauere Beschreibung Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. Lotgerade von P auf g Fällen des Lotes von P auf die Gerade g. Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
2. Lotfußpunkt L Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g. ...
3. |PL| auf LP^- abtragen, Erhalten P' Die Strecke \overline{PL} wird auf dem Strahl LP^- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P' ...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden g)
Es sei g eine Gerade. Unter der Spiegelung S_g an der Geraden g versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt P der Ebene wie folgt auf sein Bild P' abbildet:
  1. P \equiv P', falls P \in g
  2. g ist die Mittelsenkrechte von \overline{PP'}, sonst.

Geradenspiegelungen als Bewegungen

Satz 2.1

Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.

Beweis von Satz 2.1:

Es sind zwei Dinge zu zeigen:

(I) Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade.
(II) Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.

Es seien A, B zwei Punkte, die an der Geraden g auf ihre Bilder A' und B' durch die Spiegelung an g abgebildet werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1:
Fall 2:
Fall 3:

Satz 2.2

Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1.

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Beweis


Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung S_g ist durch die Angabe eines Punktes P und dem Bild von S(P) eindeutig bestimmt, falls P \not= S_g(P) gilt.


Beweis



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