Gruppendefinition (Gleichung)

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat [G, \odot] eine Einslement e_1. Es bleibt zu zeigen, dass [G, \odot] kein weiteres Einslement e_2 hat. Wir nehmen an es gibt e_2 mit e_2 \neq e_1. Nach Satz 2 sind e_1 und e_2 von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente e_1 und e_2 (und das sowohl von rechts, wie auch von links) e_1=e_2.

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe [G, \odot] gilt: Jedes Gruppenelement g \in G hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei g \in G eine Gruppe mit dem Einslement e. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat g in G ein Inverses g_1^{-1} bezüglich \odot. Wir nehmen an, g hat in G ein weiteres Inverses g_2^{-1}, das natürlich von g_1^{-1} verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass g_1^{-1} und g_2^{-1} von links und von rechts invers zu g bzgl. \odot sind.

Die triviale Gleichung (I) e=e "pumpen" wir zu (II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1} auf.

(II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit g_1^{-1} und erhalten (III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}.

(III) verkürzt sich zu g_1^{-1}=g_2^{-1}, was ein Widerspruch zu unserer Annahme g_1^{-1} \neq g_2^{-1} ist.