Gruppendefinition (Gleichung)

Eindeutigkeit des Einslementes Satz 3 Jede Gruppe hat genau ein Einslement. Beweis von Satz 3 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$. Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$. Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$. Eindeutigkeit der inversen Elemente Satz 4 In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element. Beweis von Satz 4 Es sei $g \in G$ eine Gruppe mit dem Einslement $e$. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$ bezüglich $\odot$. Wir nehmen an, $g$ hat in $G$ ein weiteres Inverses $g_2^{-1}$, das natürlich von $g_1^{-1}$ verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass $g_1^{-1}$ und $g_2^{-1}$ von links und von rechts invers zu $g$ bzgl. $\odot$ sind. Die triviale Gleichung $(I) e=e$ "pumpen" wir zu $(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}$ auf. $(II)$ multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit $g_1^{-1}$ und erhalten $(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}$. $(III)$ verkürzt sich zu $g_1^{-1}=g_2^{-1}$, was ein Widerspruch zu unserer Annahme $g_1^{-1} \neq g_2^{-1}$ ist. Kürzbarkeit Satz 5 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Für alle Elemente $a, b, c \in G$ gilt: $a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c$ $b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c$