Quelltext der Seite Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
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=Die Ordnung einer Gruppe=
==Definition (Gruppenordnung)==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>|G|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>.
==Beispiele==
* <math>[\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5</math>
* <math>[\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4</math>
* <math>[\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty</math>
=Potenzschreibweisen in Gruppen=
== Aus der Schule bekannt==
Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:
*<math>3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243</math><br />

*<math>5^{-3}:=5^{-1}  \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} =  \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008</math><br />

*<math>a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} </math><br />

*<math>a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math><br />
==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
===Beispiele===
====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>
# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.
#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>
#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>

=Die Ordnung eines Gruppenelements=
==Definition (Ordnung eines Gruppenelements)==
Es sei <math>[G,\odot ]</math> eine Gruppe.

Die Ordnung eines Elements <math>g\isin G</math> ist die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> für die gilt:

<math>g^{n}=e</math>

<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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[[Kategorie:Algebra]]