Klassifizierung von Bewegungen aus der Sicht der Gruppe der Bewegungen

Das Whiteboard zur Übung

Kurzfassung

Zur Vorbereitung auf die Prüfung ist es sinnvoll, das bisher gelernte umzustrukturieren.
Vor drei Wochen haben wir die alle Bewegungen auf der Grundlage des Reduktionssatzes klassifiziert. Der Reduktionssatz sagt aus, dass jede Bewegung die NAF von zwei oder drei Geradenspieglungen ist. Um herauszufinden, welche Typen von Bewegungen es prinzipiell geben kann, untersucht man alle Konstellationen die bei zwei oder drei Geraden auftreten können. Auf der Grundlage der jeweiligen Konstellation (Geraden sind parallel, haben genau einen Punkt gemeinsam, etc.) untersucht man was die NAF der Spiegelungen an eben diesen Geraden ergibt.
Man stellt fest:
Es gibt genau vier Typen von Bewegungen:

1. Geradenspiegelungen
2. Drehungen
3. Verschiebungen
4. Schubspiegelungen

Wir wissen ferner, dass die Bewegungen bzgl. der NAF von Abbildungen eine Gruppe bilden. Es wäre jetzt interessant zu untersuchen, wie sich die dieser Gruppe aus Sicht der bereits erfolgten Klassifizierung verhalten. Konkret untersuchen wir in diesem Kontext die folgende Verknüpfungstafel:

$\circ$	Geradenspiegelung	Drehung	Verschiebung	Schubspiegelung
Geradenspiegelung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Drehung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Verschiebung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Schubspiegelung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$

In der Übung konnten wir die Verknüpfungstafel wie folgt ausfüllen:

$\circ$	Geradenspiegelung	Drehung	Verschiebung	Schubspiegelung
Geradenspiegelung	Drehung oder Verschiebung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Drehung	$\ldots$	Drehung oder Verschiebung	$\ldots$	$\ldots$
Verschiebung	$\ldots$	$\ldots$	Verschiebung	$\ldots$
Schubspiegelung	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	Auf jeden Fall entsteht eine den Umlaufsinn erhaltende Abbildung.