Klassifizierung von Bewegungen aus der Sicht der Gruppe der Bewegungen

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Das Whiteboard zur Übung

Whiteboard der Übung Elementargeometrie vom 15. Juli 2020Noch einmal: Klassifizierung von Bewegungen

Kurzfassung

Zur Vorbereitung auf die Prüfung ist es sinnvoll, das bisher gelernte umzustrukturieren.
Vor drei Wochen haben wir die alle Bewegungen auf der Grundlage des Reduktionssatzes klassifiziert. Der Reduktionssatz sagt aus, dass jede Bewegung die NAF von zwei oder drei Geradenspieglungen ist. Um herauszufinden, welche Typen von Bewegungen es prinzipiell geben kann, untersucht man alle Konstellationen die bei zwei oder drei Geraden auftreten können. Auf der Grundlage der jeweiligen Konstellation (Geraden sind parallel, haben genau einen Punkt gemeinsam, etc.) untersucht man was die NAF der Spiegelungen an eben diesen Geraden ergibt.
Man stellt fest:
Es gibt genau vier Typen von Bewegungen:

  1. Geradenspiegelungen
  2. Drehungen
  3. Verschiebungen
  4. Schubspiegelungen

Wir wissen ferner, dass die Bewegungen bzgl. der NAF von Abbildungen eine Gruppe bilden. Es wäre jetzt interessant zu untersuchen, wie sich die dieser Gruppe aus Sicht der bereits erfolgten Klassifizierung verhalten. Konkret untersuchen wir in diesem Kontext die folgende Verknüpfungstafel:

\circ Geradenspiegelung Drehung Verschiebung Schubspiegelung
Geradenspiegelung \ldots \ldots \ldots \ldots
Drehung \ldots \ldots \ldots \ldots
Verschiebung \ldots \ldots \ldots \ldots
Schubspiegelung \ldots \ldots \ldots \ldots

In der Übung konnten wir die Verknüpfungstafel wie folgt ausfüllen:

\circ Geradenspiegelung Drehung Verschiebung Schubspiegelung
Geradenspiegelung Drehung oder Verschiebung \ldots \ldots \ldots
Drehung \ldots Drehung oder Verschiebung \ldots \ldots
Verschiebung \ldots \ldots Verschiebung \ldots
Schubspiegelung \ldots \ldots \ldots Auf jeden Fall entsteht eine den Umlaufsinn erhaltende Abbildung.

Prinzipielle Vorgehensweise zu dieser Untersuchung:

  1. Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen. Wir haben zwei nacheinander auszuführende Bewegungen gegeben. Wir überlegen, wie man diese Bewegungen prinzipiell durch zwei oder drei Geradenspieglungen ersetzen kann.
  2. Die Darstellung einer Bewegung durch die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen ist nicht eindeutig. Wir wählen die Konstelltion der Spiegelgeraden so, dass in der NAF der vier, fünf oder sechs nacheinander auszuführenden Geradenspiegelungen möglichst viele der Teilprodukte die Identität ergeben.
  3. Übrig bleiben dann zwei oder drei Geradenspiegelungen, denen wir dann den Typ von Bewegung zuordnen, der sich durch die NAF der Geradenspiegelungen ergibt, die übrig bleiben.

Beispiel: Drehung mal Verschiebung
Gegeben: D_{Z,\alpha} und V_\vec v
Gesucht: D_{Z,\alpha} \circ V_\vec v
Die Verschiebung  V_\vec v ist die NAF von zwei Geradenspiegelungen  S_c \circ S_d mit  c \perp \vec v \land d \perp \vec v \land c \| d \land |c,d| = \frac{1}{2} |\vec v| .
Wir wählen  c derart, dass  Z \in c
Die Drehung  D_{Z,\alpha} ersetzen wir wir durch die NAF von zwei Geradenspiegelungen  S_a \circ S_b mit  a \cap b = \{Z\} \land |\angle a,b| = \frac{1}{2} |\alpha| .
Im Kontext der Erfüllung der genannten Bedingungen für  a, b haben wir unendlich viele Möglichkeiten,  a und  b zu bestimmen. Wir wählen  b derart, dass  b \equiv c gilt.
 a ergibt sich dann durch Drehung von  b um  Z mit  -\frac{1}{2} |\alpha| .
Es gilt jetzt:
 \begin{matrix} 
D_{Z,\alpha} \circ V_\vec v & = & (S_a \circ S_b) \circ (S_c \circ S_d) \\
D_{Z,\alpha} \circ V_\vec v & = & S_a \circ (S_b \circ S_c) \circ S_d \\
D_{Z,\alpha} \circ V_\vec v & = & S_a \circ id \circ S_d \\
D_{Z,\alpha} \circ V_\vec v & = & S_a \circ S_d \\
\end{matrix}
 c und  b waren als identische Geraden parallel zu  d. Weil  a nicht parallel zu  b war, ist  a nicht parallel zu  d.  S_a \circ S_d ist also eine Drehung um den Schnittpunkt von  a und  d . Aus dem Stufenwinkelsatz folgt, dass diese Drehung den Drehwinkel  \alpha hat.
Wir können die Tabelle also ergänzen:

\circ Geradenspiegelung Drehung Verschiebung Schubspiegelung
Geradenspiegelung Drehung oder Verschiebung \ldots \ldots \ldots
Drehung \ldots Drehung oder Verschiebung Drehung \ldots
Verschiebung \ldots Drehung Verschiebung \ldots
Schubspiegelung \ldots \ldots \ldots Auf jeden Fall entsteht eine den Umlaufsinn erhaltende Abbildung.