Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Was wäre wenn nicht)
(→‎Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET))
 
(21 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
=Aufgabe 11.02=
+
== Aufgabe 11.02 ==
 +
 
 
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
 
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
 
Behauptung:<br />
 
Behauptung:<br />
Zeile 5: Zeile 6:
 
<br />
 
<br />
  
−
=Lösung User ...=
+
== Lösung User --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:21, 24. Jan. 2013 (CET) ==
 +
Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)
 +
 
 
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
 
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
 
===(H) Hilfskonstruktion: ===
 
===(H) Hilfskonstruktion: ===
Zeile 12: Zeile 15:
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: <br />
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: <br />
 
<br />
 
<br />
−
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)    --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET)<br />
+
<span style="color: Blue">Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte</span> <span style="color: Red">(Def. Mittelsenkrechte)</span>     <br />
 +
 
 +
 
 +
Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):<br />
 +
::Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.
  
  
−
.................................................<br />
+
[[Kategorie:Einführung_S]]
  
 
===Was wäre wenn===
 
===Was wäre wenn===
 
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br />
 
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander.<br />
 
Begründung hierfür:<br />
 
Begründung hierfür:<br />
−
<br /> Mittelsenkrechtenkriterium      --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
+
<br /> <span style="color: Blue">Mittelsenkrechtenkriterium</span>      
 
<br />
 
<br />
−
..................................................
 
  
 
===Was wäre wenn nicht===
 
===Was wäre wenn nicht===
Zeile 31: Zeile 37:
 
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
 
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
 
|-  
 
|-  
−
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch  
+
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || <span style="color: Blue">An., Axiom von Pasch</span>
 
|-  
 
|-  
−
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
+
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || <span style="color: Blue">1), Mittelsenkrechtenkriterium</span>
 
|-  
 
|-  
−
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
+
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || <span style="color: Blue">2), Basiswinkelsatz</span>
 
|-  
 
|-  
−
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
+
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || <span style="color: Blue">Vor.</span>
 
|-  
 
|-  
−
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)   
+
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || .<span style="color: Blue">4),3)</span>  
−
|}--[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:16, 24. Jan. 2013 (CET)
+
|}
  
 
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br />
 
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br />
  
−
Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein.<br />
+
Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem <span style="color:Blue">Winkelkonstruktionsaxiom</span> identisch sein.<br />
 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
−
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.
+
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind   <span style="color: Blue">C* und C</span> identisch.
  
 
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.
 
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Aktuelle Version vom 25. Januar 2013, 10:57 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)

Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --*m.g.* 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:

Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)


Kommentar: --*m.g.* 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):

Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:

Mittelsenkrechtenkriterium

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen An., Axiom von Pasch
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} 1), Mittelsenkrechtenkriterium
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA 2), Basiswinkelsatz
(4) \beta \tilde= \alpha Vor.
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA .4),3)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem Winkelkonstruktionsaxiom identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind C* und C identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

Lösung User ...

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_Aufgabe_11.02_WS_12_13&oldid=20688“