Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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o.B.d.A. gelte <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math><math>\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> <br\>
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Voraussetztung:<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br\>
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Annahme: <math>\overline{AC} \cap g = \lbrace  \rbrace</math> <br\>
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da<math> \overline{AC}  \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g</math><br>
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<math>\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch</math> zu <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace</math><br\>
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<math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />

Version vom 22. Juni 2011, 16:13 Uhr

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace


Beweis: durch Widerspruch:

o.B.d.A. gelte \operatorname(Zw) (A, B, C)\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}

Voraussetztung:\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace
Annahme: \overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace
da \overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g
\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch zu \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace
\Rightarrow \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace

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