Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Berechtigter Einwand Madita, oBdA ist hier nicht richtig, da die Fälle sich unterscheiden. Danke für die Berichtigung. L.G.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:16, 24. Jun. 2011 (CEST)

Version vom 24. Juni 2011, 18:16 Uhr

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace


Beweis: durch Widerspruch:

o.B.d.A. gelte \operatorname(Zw) (A, B, C)\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}

Voraussetztung:\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace
Annahme: \overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace
da \overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g
\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch zu \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace
\Rightarrow \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace
--Peterpummel 16:13, 22. Jun. 2011 (CEST)

Ich bezweifle, dass man hier einfach Zw(A,B,C) voraussetzen darf. Mathegott 20:30, 23. Jun. 2011 (CEST)
Das sehe ich auch so. Besser ist es in Fälle zu unterscheiden. Falls die Fälle dann sehr ähnlich sind, kann man immer noch "Beweis ist analog zu Fall 1." schreiben.
Kann man den Beweis auch direkt führen?--Tutorin Anne 10:53, 24. Jun. 2011 (CEST)


Fallunterscheidung:

1. zw(A,B,C) siehe oben

2. zw (B,A,C) -> Strecke BC schneidet g nicht (Vorraussetzung) -> dann kann g auch nicht die Strecke AB schneiden -> Widerspruch zur Vorraussetzung!

3. zw (A,C,B) -> Strecke AB schneidet g, Strecke CB schneidet g nicht -> Dann muss g die Strecke AC schneiden

--Madita 15:06, 24. Jun. 2011 (CEST)

Anmerkung
Berechtigter Einwand Madita, oBdA ist hier nicht richtig, da die Fälle sich unterscheiden. Danke für die Berichtigung. L.G.--Peterpummel 18:16, 24. Jun. 2011 (CEST)

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