Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$


Beweis: durch Widerspruch:

o.B.d.A. gelte $\operatorname(Zw) (A, B, C)$$\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}$

Voraussetztung:$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Annahme: $\overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace$
da$\overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g$
$\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch$ zu $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
$\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
--Peterpummel 16:13, 22. Jun. 2011 (CEST)