Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$


Beweis: durch Widerspruch:

o.B.d.A. gelte $\operatorname(Zw) (A, B, C)$$\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}$

Voraussetztung:$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace$
Annahme: $\overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace$
da$\overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g$
$\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch$ zu $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
$\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
--Peterpummel 16:13, 22. Jun. 2011 (CEST)

Ich bezweifle, dass man hier einfach Zw(A,B,C) voraussetzen darf. Mathegott 20:30, 23. Jun. 2011 (CEST)
Das sehe ich auch so. Besser ist es in Fälle zu unterscheiden. Falls die Fälle dann sehr ähnlich sind, dann man immer noch "Beweis ist analog zu Fall 1." schreiben.
Kann man den Beweis auch direkt führen?--Tutorin Anne 10:53, 24. Jun. 2011 (CEST)