Lösung von Aufg. 12.06 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;"> {|width=90%| style="background…“)
 
Zeile 3: Zeile 3:
 
| valign="top" |
 
| valign="top" |
  
−
 
+
== Aufgabe 12.06 ==
 +
Beweisen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneiden sich in genau einem Punkt <math>S</math>, welcher der Mittelpunkt des Inkreises von <math>\overline{ABC}</math> ist.
 +
<br />
  
 
==Lösung==
 
==Lösung==
−
 
+
*Zunächst müssen sich die Winkelhalbierende <math>w_\alpha</math> und <math>w_\beta</math> in genau einem Punkt <math>M</math> schneiden. Sollte dem nicht so sein wären die durch <math>w_\alpha</math> und <math>w_\beta</math> bestimmten Geraden parallel zueinander. Nach dem Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen wäre jetzt <math>\frac{|\alpha|}{2} + \frac{|\beta|}{2} = 180</math>, was ein Widerspruch zur Innenwinkelsumme im Dreieck wäre.
 +
# <math>M \in w_\alpha \Rightarrow |M,AB| = |M,AC| </math> (Winkelhalbierendenkriterium)
 +
# <math>M \in w_\beta \Rightarrow |M,AB| = |M,BC| </math> (Winkelhalbierendenkriterium)
 +
# <math>|M,BC|=|M,AC|</math> (1 und 2)
 +
# <math>M \in w_\gamma</math> (3 und Winkelhalbierendenkriterium)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:51, 18. Jul. 2013 (CEST)<br /><br />
  
 
Zurück zu: [[Serie 12 SoSe 2013]]
 
Zurück zu: [[Serie 12 SoSe 2013]]

Version vom 18. Juli 2013, 22:51 Uhr

Aufgabe 12.06

Beweisen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks \overline{ABC} schneiden sich in genau einem Punkt S, welcher der Mittelpunkt des Inkreises von \overline{ABC} ist.

Lösung

  • Zunächst müssen sich die Winkelhalbierende w_\alpha und w_\beta in genau einem Punkt M schneiden. Sollte dem nicht so sein wären die durch w_\alpha und w_\beta bestimmten Geraden parallel zueinander. Nach dem Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen wäre jetzt \frac{|\alpha|}{2} + \frac{|\beta|}{2} = 180, was ein Widerspruch zur Innenwinkelsumme im Dreieck wäre.
  1. M \in w_\alpha \Rightarrow |M,AB| = |M,AC| (Winkelhalbierendenkriterium)
  2. M \in w_\beta \Rightarrow |M,AB| = |M,BC| (Winkelhalbierendenkriterium)
  3. |M,BC|=|M,AC| (1 und 2)
  4. M \in w_\gamma (3 und Winkelhalbierendenkriterium)--*m.g.* 22:51, 18. Jul. 2013 (CEST)

Zurück zu: Serie 12 SoSe 2013

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufg._12.06_SoSe_13&oldid=24922“