Lösung von Aufg. 12.06 SoSe 13

Aufgabe 12.06 Beweisen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks $\overline{ABC}$ schneiden sich in genau einem Punkt $S$, welcher der Mittelpunkt des Inkreises von $\overline{ABC}$ ist. Lösung Zunächst müssen sich die Winkelhalbierende $w_\alpha$ und $w_\beta$ in genau einem Punkt $M$ schneiden. Sollte dem nicht so sein wären die durch $w_\alpha$ und $w_\beta$ bestimmten Geraden parallel zueinander. Nach dem Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen wäre jetzt $\frac{|\alpha|}{2} + \frac{|\beta|}{2} = 180$, was ein Widerspruch zur Innenwinkelsumme im Dreieck wäre. $M \in w_\alpha \Rightarrow |M,AB| = |M,AC|$ (Winkelhalbierendenkriterium) $M \in w_\beta \Rightarrow |M,AB| = |M,BC|$ (Winkelhalbierendenkriterium) $|M,BC|=|M,AC|$ (1 und 2) $M \in w_\gamma$ (3 und Winkelhalbierendenkriterium) Der Rest ergibt sich aus dem Tangentenkrierium und dadurch, dass durch drei nichkollineare Punkte genau ein Kreis bestimmt ist. --*m.g.* 22:51, 18. Jul. 2013 (CEST) Zurück zu: Serie 12 SoSe 2013