Lösung von Aufg. 12.8 SS11

Es seien $\overline{ABCD}$ ein Quadrat und $r$ eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von $\overline{ABCD}$ ist. Ferner seien die Punkte $E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CD}, H \in \overline{DA}$ mit $\ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r$ gegeben. Man beweise: $\overline{EFHG}$ ist ein Quadrat.

Was ist ein Quadrat ?--Peterpummel 18:24, 3. Jul. 2011 (CEST)



$\ Definition \ Quadrat:$
$\ Es \ seien \ A,B,C,D \ vier \ verschiedene \ Punkte$
$\ Q := \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA} \ heißt \ genau \ dann \ Quadrat \ , \ wenn \ gilt:$
$\ (i) \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{CD}$
$\ (ii) \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90$

Eine Skizze von der Aufgabe hilft enorm
$\ Beweis:$

$\ Voraussetztung:$
$\ (i) \ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r$
$\ (ii) \ \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC}$
$\ (iii) \ \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90$

$\ Behauptung:$
$\ (i) \overline{HE} \equiv \overline{EF} \equiv \overline{FG} \equiv \overline{GH}$
$\ (ii) \angle FEH = 90 = \angle GFE$

$\ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{AEH} \ fuer \ dieses \ gilt:$
$|\overline{AE}| = r \ und \ \angle EAH\equiv 90$
$\ ferner \ gilt \ |\overline{AH}| = |\overline{DA}| - |\overline{AH}| =: d$
$\ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{EBF} \ fuer \ dieses \ gilt:$
$| \overline{FB}| = r \ und \ \angle FBE\equiv 90$
$\ ferner \ gilt \ |\overline{EB}| = |\overline{AB}| - |\overline{AE}| = d$
$\ da |\overline{AE}| = |\overline{FB}| \Rightarrow \ n. SWS \ \ \overline{AEH} \equiv \overline{EBF}$
$\Rightarrow |\overline{HE}| = |\overline{EF}|$
$\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{GDH} \ liefert \ |\overline{FG} |=|\overline{GH} |$
$\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{FBE} \ liefert \ |\overline{GF} |=|\overline{EF} |$
$\Rightarrow \left| HE \right| =\left| GH \right| = \left| GF \right|= \left| FE \right|$$\Leftrightarrow (i)$

Aus unserer Übung mit dem Parallelaxiom gehe ich nun von dessen Gültigkeit aus und benutze nun den Innenwinkelsummensatz vom Dreieck. Ansonsten sehe ich keine Möglichkeit die rechten Winkel im Quadrat nachzuweisen
$\ Es \ gilt \ 180 = \angle EAH + \angle HEA + \angle AHE$
$\Leftrightarrow 90 = \angle HEA +\angle AHE \$
$\ da\ \angle AHE \equiv \angle DGH \ und \ \angle HEA \equiv \angle GHD\Rightarrow \angle GHD +\angle AHE = 90$ $\ Sei \ m \ die \ Senkrechte \ auf \ \overline{AD} \ durch \ H \ dann \ gilt \angle DHG + \angle m\overline {HG} = 90$
$\Leftrightarrow 90 - \angle DHG = \angle m\overline{HG}$
$\ analog \Rightarrow \ 90 - \angle AHE = \angle m\overline{HE}$ $\ Betrachte \ \angle EHG = \angle m\overline{GH} +\angle \overline{HE}m , \ dies \ gilt \ n. \ Winkeladditionsaxiom$ $\Leftrightarrow 180 - ( \angle DHG +\angle AEH)$
$\ , da \ \angle DHG \equiv \angle HEA$
$\Rightarrow \angle EHG = 180 - (\angle HEA + \angle AHE)\Leftrightarrow \angle EHG = 180 - 90 = 90\Rightarrow \angle EHG \ ist \ rechter \ Winkel$
$\ analog \ die \ Winkel \angle FEH \ \angle GFE\ \angle HGF \$
$\Rightarrow \overline{HGEF} \ ist \ ein \ Quadrat$

bei den Rechnungen mit den Winkeln stehen keine Betragsstriche dabei, korrekter Weise müssten sie gesetzt werden. Ich bitte das zu beachten.
Vielleicht findet ja jemand eine kürzere und schönere Lösung. Die Definition des Quadrats macht mir den Beweis etwas umständlich, vielleicht einen schönere Definition vom Quadrat anbieten. --Peterpummel 15:41, 4. Jul. 2011 (CEST)