Lösung von Aufg. 14.1 (SoSe 11)

Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist.

Voraussetzung: Gerade g $P \not\in g$ Behauptung: Es existiert eine Gerade h durch P, die parallel zu g ist.

Beweisführung in der absoluten Geometrie:

1	Sei P ein Punkt in $\ gQ^{+}$	Definiton Halbebene
2	$\exists !$ Strahl in $\ gQ^{+}$ für den gilt, dass er durch P verläuft und auf g senkrecht steht. Sei dieser $\ AP^{+}$	Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten auf einer Geraden, Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (1)
3	senkrecht = Winkelmaß 90	Definition Senkrechte von Geraden
4	Wenn die Stufenwinkel an geschnittenen Geraden kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden kongruent parallel	Umkehrung Stufenwinkelsatz
5	$\ AP$ teilt die Ebene in zwei Halbebenen ein	Def. Halbebene, (2)
6	In jeder Halbeneben bzgl. $\ AP$ existiert an P genau ein Strahl mit dem Maß 90	Winkelkonstruktionsaxiom, (5)
7	Durch die in 6 erzeugten Strahlen exisiert eine eindeutige Gerade h	Axiom I.1 und Axiom I.2, (6)
8	Da der Winkel 90 gleich ein rechter ist und dieser nach Def. kongruent zu seinen Nebenwinkeln ist, sind die Stufenwinkel kongruent zueinander und die Geraden h und g sind parallel	(3), (4), (7)

Leider zeigt mir dieser Beweis nicht die Eindeutigkeit, da ich nur durch den Stufenwinkelsatz (und nicht deren Umkehrung) ein Kriterium zur Definition von PArallelen schaffen kann. Den kriege ich aber nur durch das Parallelenaxiom. Das kann man sich so Vorstellen wie bei Microsoft. Die Programme sind da auch immer rückgekoppelt, damit man ja ein update kaufen muss :-) --Flo60 23:06, 12. Jul. 2011 (CEST)

Hier noch eine Veranschaulichung

--Flo60 23:11, 12. Jul. 2011 (CEST)

Die Frage, die sich mir stellt, dürfen wir das EP in dieser Übung bereits verwenden? Dieser Satz steht noch vor dem EP, im Skript. Falls man das EP benutzen darf, welche Sätze darf man nach dem EP noch benutzen? Danke.--Teufelchen 20:35, 16. Jul. 2011 (CEST)