Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen
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Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br /> | Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br /> | ||
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br /> | a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br /> | ||
| − | Der Winkel <math>\angle MAB</math> wird zum rechten Winkel, <math>MAB \perp g</math><br> | + | Der Winkel <math>\angle MAB</math> wird zum rechten Winkel, <math>MAB \ \perp \ g</math> --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br /> |
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br /> | b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br /> | ||
| + | ...steht der Radius <math>\overline{MA} </math>senkrecht auf ''g'' --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br /> | ||
c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br /> | c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br /> | ||
| + | Voraussetung: ''g'' Tangente an ''k'', <math>A \in g \ \wedge \ A \in k</math>, <math>\overline{MA}</math> ist Radius<br /> | ||
| + | Behauptung: <math>\overline{MA} \ \perp \ g</math><br /> | ||
| + | Annahme: <math>\overline{MA} \ \not\perp \ g</math><br /> | ||
| + | (1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft <math>\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}</math> <br /> | ||
| + | (2) Antragen Punkt <math>C</math> auf Strahl <math>\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|</math> <br /> | ||
| + | (3) <math>\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}</math> nach SWS<br /> | ||
| + | (4) <math>\left| MC \right| = \left| MA \right|</math> nach 3. und Dreieckskongruenz<br /> | ||
| + | (5) <math>\left| MA \right|</math> ist Radius nach Vorausssetzung<br /> | ||
| + | (6) <math>\left| MC \right|</math> ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.<br /> | ||
| + | (7) <math>C \in g \ \wedge \ C \in k</math> nach 6.<br /> | ||
| + | Widersprung zur Voraussetung!--[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET) | ||
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d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br /> | d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br /> | ||
e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br /> | e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br /> | ||
Version vom 30. Januar 2012, 12:12 Uhr
Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel 
, wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?
Der Winkel wird zum rechten Winkel, 
--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...
...steht der Radius 
senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.
Voraussetung: g Tangente an k, 
, 
ist Radius
Behauptung: 
Annahme: 
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft 
(2) Antragen Punkt 
auf Strahl 
(3) 
nach SWS
(4) 
nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) 
ist Radius nach Vorausssetzung
(6) 
ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) 
nach 6.
Widersprung zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.
e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)
