Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel $\angle MAB$, wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?

Der Winkel $\angle MAB$ wird zum rechten Winkel, $MAB \ \perp \ g$ --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Also genau genommen verschwindet der Winkel $\angle MAB$, da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: $\angle MAZ \ \perp \ g$
Hier muss man nur aufpassen, dass ein Winkel nicht senkrecht auf einer Geraden stehen kann, sondern nur Geraden senkrecht auf Geraden. --Tutor Andreas 10:23, 3. Feb. 2012 (CET)

b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...

...steht der Radius $\overline{MA}$senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Auch hier wieder der Hinweis: Es müsste eigentlich heißen: "steht die durch den Radius $\overline {MA}$ eindeutig bestimmte Gerade senkrecht auf g. --Tutor Andreas 10:26, 3. Feb. 2012 (CET) c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.

Voraussetung: g Tangente an k, $A \in g \ \wedge \ A \in k$, $\overline{MA}$ ist Radius
Behauptung: $\overline{MA} \ \perp \ g$
Annahme: $\overline{MA} \ \not\perp \ g$
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft $\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}$ Hier sollte ergänzt werden, wo der Punkt B liegt
(2) Antragen Punkt $C$ auf Strahl $\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|$
(3) $\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}$ nach SWS
(4) $\left| MC \right| = \left| MA \right|$ nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) $\left| MA \right|$ ist Radius nach Vorausssetzung
(6) $\left| MC \right|$ ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) $C \in g \ \wedge \ C \in k$ nach 6.
Widerspruch zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
Ich würde hier vielleicht noch ergänzen, dass aus Schritt (7) und der VSS, dass A $\in$ g gilt, g keine Tangente des Kreises k sein kann. --Tutor Andreas 10:37, 3. Feb. 2012 (CET)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.

e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)

--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.