Lösung von Aufg. 6: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien ''A'', ''B'' und ''C'' drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie: <br /><br />
 
Es seien ''A'', ''B'' und ''C'' drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie: <br /><br />
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<math>\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)</math> <br\>
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<math>\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)</math> <br\><br />
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==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)==
  
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Vor.: <math>\ Zw(A,B,C)</math><br />
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Beh.: <math>\ \neg Zw(B,A,C)</math><br />
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Annahme: <math>\ Zw(B,A,C)</math><br /><br />
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! Nr.
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| (IV), Axiom II/2
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| (V), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
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| (VI), Axiom II/1
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| Widerspruch zur Voraussetzung
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| (VII), Vor.
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| Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!
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[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Version vom 22. Dezember 2010, 14:33 Uhr

Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:

\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)

Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)

Vor.: \ Zw(A,B,C)
Beh.: \ \neg Zw(B,A,C)
Annahme: \ Zw(B,A,C)

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert AC \vert Vor., Def. Zw.
(II) \vert BA \vert + \vert AC \vert = \vert BC \vert Annahme, Def. Zw.
(III) \vert BA \vert + \vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert BC \vert I, II, Rechnen in \mathbb{R}
(IV) \vert BA \vert + \vert AB \vert = 0 (III), Rechnen in \mathbb{R}
(V) \vert BA \vert + \vert BA \vert = 0 (IV), Axiom II/2
(VI) \ 2\vert BA \vert = 0 (V), Rechnen in \mathbb{R}
(VI) \vert BA \vert = 0 (VI), Rechnen in \mathbb{R}
(VII) \ B \equiv A (VI), Axiom II/1
(VIII) Widerspruch zur Voraussetzung (VII), Vor.
(VIX) Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! (VIII)
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