Lösung von Aufg. 6

Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:

$\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)$

Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)

Vor.: $\ Zw(A,B,C)$
Beh.: $\ \neg Zw(B,A,C)$
Annahme: $\ Zw(B,A,C)$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert AC \vert$	Vor., Def. Zw.
(II)	$\vert BA \vert + \vert AC \vert = \vert BC \vert$	Annahme, Def. Zw.
(III)	$\vert BA \vert + \vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert BC \vert$	I, II, Rechnen in $\mathbb{R}$
(IV)	$\vert BA \vert + \vert AB \vert = 0$	(III), Rechnen in $\mathbb{R}$
(V)	$\vert BA \vert + \vert BA \vert = 0$	(IV), Axiom II/2
(VI)	$\ 2\vert BA \vert = 0$	(V), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VII)	$\vert BA \vert = 0$	(VI), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VIII)	$\ B \equiv A$	(VII), Axiom II/1
(IX)	Widerspruch zur Voraussetzung	(VIII), Vor.
(X)	Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!	(IX)