Lösung von Aufg. 6: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. Dezember 2010, 15:50 Uhr

Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:

$\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)$

Vor.: $\ Zw(A,B,C)$
Beh.: $\ \neg Zw(B,A,C)$
Annahme: $\ Zw(B,A,C)$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert AC \vert$	Vor., Def. Zw.
(II)	$\vert BA \vert + \vert AC \vert = \vert BC \vert$	Annahme, Def. Zw.
(III)	$\vert BA \vert + \vert AB \vert + \vert BC \vert = \vert BC \vert$	I, II, Rechnen in $\mathbb{R}$
(IV)	$\vert BA \vert + \vert AB \vert = 0$	(III), Rechnen in $\mathbb{R}$
(V)	$\vert BA \vert + \vert BA \vert = 0$	(IV), Axiom II/2
(VI)	$\ 2\vert BA \vert = 0$	(V), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VII)	$\vert BA \vert = 0$	(VI), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VIII)	$\ B \equiv A$	(VII), Axiom II/1
(IX)	Widerspruch zur Voraussetzung	(VIII), Vor.
(X)	Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!	(IX)

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 | (V), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
 |-
-! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
+! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
 | <math>\vert BA \vert = 0 </math>
 | (VI), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
 |-
-! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
+! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
 | <math>\ B \equiv A </math>
-| (VI), Axiom II/1
+| (VII), Axiom II/1
 |-
-! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
+! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
 | Widerspruch zur Voraussetzung
-| (VII), Vor.
+| (VIII), Vor.
 |-
-! style="background: #FFDDDD;"|(VIX)
+! style="background: #FFDDDD;"|(X)
 | Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!
-| (VIII)
+| (IX)
 |-
 |}