Lösung von Aufg. 7: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
Zeile 1: Zeile 1:
 
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br />
 
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br />
 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />  
 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />  
−
<ggb_applet width="892" height="512"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
  
 +
==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)==
 +
 +
Vor.:<br />
 +
*drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''
 +
*<math>\ g \subset E</math>
 +
*<math>\ A,B,C \notin g</math>
 +
*<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace </math><br />
 +
Beh.: <math>\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math><br /><br />
 +
Der folgende Beweis ist nur einer von vielen möglichen. Fühlen Sie sich frei Ihre Version auch mit hier einzustellen!<br />
 +
Die Idee des folgenden Beweises liegt darin, sich einen weiteren Punkt ''P'' in der Halbebene <math>\ gA^{+}</math> zu erzeugen, der nichtkollinear zu ''A,B,C'' ist und dann das Axiom von Pasch mehrfach anzuwenden:<br />
 +
 +
{| class="wikitable "
 +
|+ Beweis
 +
! Nr.
 +
! Beweisschritt
 +
! Begründung
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
 +
| <math>\exists S: \overline{AB} \cap g = \lbrace S \rbrace </math>
 +
| Vor.
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
 +
| <math>\exists T \in g \wedge T \not= S</math>
 +
| Axiom I/2
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
 +
| <math>\exists P \in \overline{AT} \wedge P \notin g \wedge P \not=A</math>
 +
| Axiom vom Lineal
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
 +
| <math>\ P \in gA^{+}</math>
 +
| (II), (III)
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
 +
| <math>\overline{PA} \cap g = \lbrace \rbrace</math>
 +
| (IV), Def. Halbebene
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
 +
| <math>\overline{AB} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math>
 +
| Vor.
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
 +
| <math>\overline{PB} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math>
 +
| (V), (VI), Axiom von Pasch
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
 +
| <math>\overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math>
 +
| Vor.
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
 +
| <math>\overline{PC} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math>
 +
| (VII), (VIII), Axiom von Pasch
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
 +
| <math>\overline{AC} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math>
 +
| (V), (IX), Axiom von Pasch
 +
|-
 +
|}
 +
 +
<ggb_applet width="400" height="400"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aktuelle Version vom 22. Dezember 2010, 15:48 Uhr

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace

Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)

Vor.:

  • drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E
  • \ g \subset E
  • \ A,B,C \notin g
  • \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace

Beh.: \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace

Der folgende Beweis ist nur einer von vielen möglichen. Fühlen Sie sich frei Ihre Version auch mit hier einzustellen!
Die Idee des folgenden Beweises liegt darin, sich einen weiteren Punkt P in der Halbebene \ gA^{+} zu erzeugen, der nichtkollinear zu A,B,C ist und dann das Axiom von Pasch mehrfach anzuwenden:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exists S: \overline{AB} \cap g = \lbrace S \rbrace Vor.
(II) \exists T \in g \wedge T \not= S Axiom I/2
(III) \exists P \in \overline{AT} \wedge P \notin g \wedge P \not=A Axiom vom Lineal
(IV) \ P \in gA^{+} (II), (III)
(V) \overline{PA} \cap g = \lbrace \rbrace (IV), Def. Halbebene
(VI) \overline{AB} \cap g \not= \lbrace \rbrace Vor.
(VII) \overline{PB} \cap g \not= \lbrace \rbrace (V), (VI), Axiom von Pasch
(VIII) \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace Vor.
(IX) \overline{PC} \cap g \not= \lbrace \rbrace (VII), (VIII), Axiom von Pasch
(X) \overline{AC} \cap g \not= \lbrace \rbrace (V), (IX), Axiom von Pasch

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufg._7&oldid=5853“