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Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace

(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit \overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace  und nutzen Sie den Satz von Pasch)


Verstehe nicht wirklich warum wir noch den vierten Punkt D brauchen. Man kann auch ohne den zusätzlichen Punkt zeigen, dass die Behauptung stimmt.

Voraussetzung: \overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \

Behauptung: \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace
Annahme: \overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace

Nr. Schritt Begründung
1. \overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace  Annahme
3. Wenn die Gerade g eine Seite schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere Seite des Dreiecks. Gerade g schneidet entweder \overline{AB} oder \overline{BC} Satz von Pasch
4. \overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \

Voraussetzung
5. Die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung stimmt. 3),4)
--Picksel (Diskussion) 11:05, 18. Jun. 2014 (CEST)