Lösung von Aufg. 8.1 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
 
Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
  
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Voraussetzung: Ebene E und eine Gerade g, die nicht (vollständig) in E liegt <br />
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Behauptung: <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace \rbrace  \wedge  \lbrace S\rbrace</math>
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Beweis in zwei Schritten:
  
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Fall 1: E und g haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt: Dieser Fall ist trivial, genau dann wenn, g nicht mit E inzidiert und somit Parallel zur Ebenen e verläuft
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Fall 2:  <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace S\rbrace</math>
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Beweis durch Widerspruch:
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Annahme: <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace S; P\rbrace</math>
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| 1) S <math>\in</math> E|| Annahme
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| 2) P <math>\in</math> E || Annahme
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| 3) g liegt vollständig in E || Axiom I.5, (1), (2)
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| 4) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen || (3), Voraussetzung
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--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:07, 31. Mai 2011 (CEST)
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
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Version vom 31. Mai 2011, 23:07 Uhr

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Voraussetzung: Ebene E und eine Gerade g, die nicht (vollständig) in E liegt
Behauptung: \ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace \wedge \lbrace S\rbrace
Beweis in zwei Schritten:

Fall 1: E und g haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt: Dieser Fall ist trivial, genau dann wenn, g nicht mit E inzidiert und somit Parallel zur Ebenen e verläuft
Fall 2: \ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace Beweis durch Widerspruch: Annahme: \ E \cap g \ = \ \lbrace S; P\rbrace


1) S \in E Annahme
2) P \in E Annahme
3) g liegt vollständig in E Axiom I.5, (1), (2)
4) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen (3), Voraussetzung

--Flo60 23:07, 31. Mai 2011 (CEST)

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