Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | | 2) || |BA| + |AC| = |BC| || Def. ZWrel., Annahme | ||
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| + | | 3) || |AB| + |BA| + |AC| = |AC| || Rechnen in R, (1), (2) | ||
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| + | | 4) || |AB| + |BA| = 0 || Rechnen in R, (3) | ||
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| + | | 5) || A = B || Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 | ||
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Version vom 31. Mai 2011, 23:25 Uhr
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und 
ein und derselben Geraden 
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden, und liegen in ein und derselben Gerade
Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen
Beweis durch Widerspruch:
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen
Annahme: |AB| = |AC| = |BC|
| 1) | AB| = |AC|  B = C |
Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
| 2) | AC| = |BC| A = B |
Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
| 3) | A = B = C | (1), (2), Transitivität von "=" |
| 4) | Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen | (3) |
Fall 2: Zwei Punkte liegen zwischen zwei anderen
Annahme: Es gilt: Zw(A, B, C) und Zw(B, A, C)
| 1) | AB| + |BC| = |AC| | Def. ZWrel., Annahme |
| 2) | BA| + |AC| = |BC| | Def. ZWrel., Annahme |
| 3) | AB| + |BA| + |AC| = |AC| | Rechnen in R, (1), (2) |
| 4) | AB| + |BA| = 0 | Rechnen in R, (3) |
| 5) | A = B | Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 |
| 6) | Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden | (5) |
--Flo60 23:25, 31. Mai 2011 (CEST)
