Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11)

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden, und liegen in ein und derselben Gerade
Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen
Beweis durch Widerspruch:
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen
Annahme: |AB| = |AC| = |BC|

1)	AB| = |AC| $\Rightarrow$ B = C	Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme
2)	AC| = |BC| $\Rightarrow$ A = B	Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme
3)	A = B = C	(1), (2), Transitivität von "="
4)	Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen	(3)

Fall 2: Zwei Punkte liegen zwischen zwei anderen
Annahme: Es gilt: Zw(A, B, C) und Zw(B, A, C)

1)	AB| + |BC| = |AC|	Def. ZWrel., Annahme
2)	BA| + |AC| = |BC|	Def. ZWrel., Annahme
3)	AB| + |BA| + |AC| = |AC|	Rechnen in R, (1), (2)
4)	AB| + |BA| = 0	Rechnen in R, (3)
5)	A = B	Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2
6)	Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden	(5)

--Flo60 23:25, 31. Mai 2011 (CEST)