Lösung von Aufg. 9.5 (SoSe 11)

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Version vom 19. Juni 2011, 17:34 Uhr von Peterpummel (Diskussion | Beiträge)

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Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
konvex bedeutet zunächst ja folgendes: \forall A, B \in einer Punktemenge: {P| \operatorname(Zw) (A, P, B)} \in  dieser Punktemenge sind \Rightarrow  ist die Punktemenge konvex

Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen schneiden sich; A \in dieser Schnittmenge und B \in dieser Schnittmenge
Behauptung: \lbrace P| Zw(A, P, B\rbrace  \in  der Schnittmenge
Beweis durch Wiederspruch:
Annahme: \exists P \not\in  der Schnittmenge

1 koll(A, B, P) Def. Strecke, Def. kollinear, Def. konvex
2 P \not\in der Schnittmenge Annahme
3 A \in der Schnittmenge Voraussetzung
4 B \not\in der Schnittmenge Def. konvex (P liegt zwischen A und B), Def. Strecke, Def. Zwischenrelation, (3), (2), (1)
5 Wiederspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen (4)

--Flo60 15:43, 8. Jun. 2011 (CEST)
Der Beweis ist so nicht korrekt. Zunächst musst du deine Annahme genauer formulieren. Sonst kannst du Schritt 1 gar nicht machen.
Dann kannst du aus Schritt 2 und 3 nicht direkt auf Schritt 4 schließen, dieser Schluss muss in mehreren Schritten passieren. Diese Schritte sind dann auch wirklich ein Beweis.
Der Beweis kann auch direkt geführt werden.--Tutorin Anne 11:48, 11. Jun. 2011 (CEST)


9.6 Lösung:

Seien M1, M2 konvexe Mengen
zz: \ M1 \cap M2 =: M3 ist konvex. \Leftrightarrow \forall X,Q \in M3\Rightarrow \overline{XQ}\subset M3
Beweis:
Seien \operatorname X,Q \in M3 \Rightarrow  X,Q\in M1\ \wedge M2\Rightarrow \overline{XQ} \subset M1 \wedge M2, da konvex.\Rightarrow \overline{XQ} \subset M3 \Rightarrow M3 ist konvex.--Peterpummel 17:34, 19. Jun. 2011 (CEST)