Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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:Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | :Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | ||
:Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | :Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | ||
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:Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | :Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | ||
:<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | :<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | ||
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:Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | :Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | ||
:Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
q.e.d. | q.e.d. |
Version vom 1. Juli 2010, 01:03 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl mit und bzw. (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt mit und bzw. (Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck konstruiert, dass kongruent zu ist. Denn es gilt ja . Jetzt genügt es zu zeigen, kongruent zu ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass .
- Nach Vor. gilt .
- (Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
- (Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke , dann und nur dann hat er von und den gleichen Abstand.
- hat ja nun den gleichen Abstand von wie von , also .
- Für gilt Entsprechendes, also .
- Nach dem Satz liegen also und auf der Mittelsenkrechten von . Es ist sogar so, dass die Gerade die Mittelsenkrechte von ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt von und der Mittelpunkt von , d.h. bzw. .
- Nach Def. gilt außerdem , d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also .
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke und kongruent sind, denn es gilt: .
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel und kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel besteht aus den Schenkeln und . Wir wissen aber, dass auf liegt. Also ist identisch mit . Also auch .
- Entsprechendes gilt für , also .
q.e.d.