Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich <math>C_2</math> statt <math>C_3</math> heißen. | |
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Vor.: | Vor.: | ||
:<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math> | :<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math> | ||
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| 2 || <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>|| Wechselwinkel (*) | | 2 || <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>|| Wechselwinkel (*) | ||
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+ | | 3 || <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>|| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz | ||
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zu den Wechselwinkeln (*): | zu den Wechselwinkeln (*): | ||
− | Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform: | + | Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.: |
− | * Vor: <math>\alpha_1 | + | * Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math> |
* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> | * Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> | ||
+ | * Schritt 1a: <math>|\alpha_1| + |\delta_1| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>B_1B_2</math> sind supplementär. | ||
+ | * Schritt 1b: <math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>C_1C_2</math>sind supplementär. | ||
+ | * Schritt 1c: <math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math> analog zu 1a | ||
+ | * Schritt 1d: <math>|\alpha_2| + |\delta_1| = 180 </math> analog zu 1b | ||
+ | * Schritt 2: Algebraische Umformung | ||
+ | **<math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math> | ||
+ | **<math>|\alpha_2| = 180 - |\delta_2|</math> | ||
+ | **<math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math> | ||
+ | **<math>|\alpha_1| = 180 - |\delta_2|</math> | ||
+ | * Schritt 3: <math>|\alpha_1| = |\alpha_2|</math> | ||
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Version vom 7. Juli 2010, 16:42 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Lösung 1
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl mit und bzw. (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt mit und bzw. (Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck konstruiert, dass kongruent zu ist. Denn es gilt ja . Jetzt genügt es zu zeigen, kongruent zu ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass .
- Nach Vor. gilt .
- (Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
- (Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke , dann und nur dann hat er von und den gleichen Abstand.
- hat ja nun den gleichen Abstand von wie von , also .
- Für gilt Entsprechendes, also .
- Nach dem Satz liegen also und auf der Mittelsenkrechten von . Es ist sogar so, dass die Gerade die Mittelsenkrechte von ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt von und der Mittelpunkt von , d.h. bzw. .
- Nach Def. gilt außerdem , d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also .
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke und kongruent sind, denn es gilt: .
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel und kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel besteht aus den Schenkeln und . Wir wissen aber, dass auf liegt. Also ist identisch mit . Also auch .
- Entsprechendes gilt für , also .
q.e.d.
Lösung 2
Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich statt heißen.
Vor.:
Beh.:
No. | Schritt | Begründung |
1a | Es existiert ein Punkt für den gilt | Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ist Mittelpunkt der Strecke Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
1b | Es existiert ein Punkt für den gilt | Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ist Mittelpunkt der Strecke Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
2 | Wechselwinkel (*) | |
3 | Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz |
zu den Wechselwinkeln (*): Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
- Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden
- Beh:
- Schritt 1a: , Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an sind supplementär.
- Schritt 1b: , Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an sind supplementär.
- Schritt 1c: analog zu 1a
- Schritt 1d: analog zu 1b
- Schritt 2: Algebraische Umformung
- Schritt 3:
--Heinzvaneugen 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)