Lösung von Aufgabe 11.4: Unterschied zwischen den Versionen

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Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.
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Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt: bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.
 
Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
 
Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
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<br /> aus A folgt B '''und''' aus B folgt A.
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<br /> aus A folgt B und '''nur''' aus B folgt A.
 
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Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>
 
Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>
 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)
 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 7. Juli 2010, 18:44 Uhr

Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.


  • Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB}gehört.)
Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.
  • Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} gehört)
Wenn ein Punkt \ P zur Mittelsenkrechten der Strecke \overline{AB} gehört, dann hat er zu den Punkten \ A und \ B ein und denselben Abstand.
  • Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
Eine Menge \ M von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke \ \overline{AB}, wenn für jeden Punkt \ P \in\ M gilt: \overline{AP} \cong \overline{BP}.


Versuch 1:

Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implikationen (Ist das Wort richtig? Ich meine damit die "Hin"- und "Rückrichtung" des Satzes.)in den Sätzen VII.6a und VII.6b gezeigt. Somit ist auch der Satz VII.6 bewiesen.--Löwenzahn 11:46, 4. Jul. 2010 (UTC)


Versuch 2:

(siehe Diskussion) Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt: bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören. Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
aus A folgt B und nur aus B folgt A.
Wenn gilt A \rightarrow B und B \rightarrow A , heißt das A \leftrightarrow B --Heinzvaneugen 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)

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