Lösung von Aufgabe 12.10: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: == Beweis des Stufenwinkelsatzes: == Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entst...) |
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| − | VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \ | b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br /> | + | VSS: Gerade <math> \ a,b,c </math>, <math> \ a \| b </math>, <math> \ c </math> schneidet <math> \ a </math> und <math> \ b </math><br /> |
| − | Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br /> | + | Beh: <math> \ \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br /> |
| − | ANN: <math> \beta | + | ANN: <math> \ |\beta| > |\alpha|</math><br /> |
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| − | | <math>| \alpha | </math> im Scheitelpunkt von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der | + | | das Maß <math> \ |\alpha|</math> im Scheitelpunkt <math> \ S</math> von <math> \ \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \ \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math> \ {SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf <math> \ c</math> einen Winkel mit dem Winkelmaß <math> \ |\alpha'|</math> bildet |
| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) | | (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) | ||
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| − | | | + | | <math> \alpha \cong \alpha'</math>, es sind Stufenwinkel |
| − | | | + | | (I), (Def. Stufenwinkel) |
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| − | | | + | | <math> a \| SP </math> |
| − | | | + | | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II) |
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| − | | | + | | <math> a \| SP </math> und <math> a \| b </math> mit <math> S \in SP </math> und <math> S \in b</math> |
| − | | | + | | (VSS), (III) |
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| + | --> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)<br /> | ||
| + | --> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC) | ||
Aktuelle Version vom 19. Juli 2010, 17:49 Uhr
Beweis des Stufenwinkelsatzes:
Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.
Lösung 1
VSS: Gerade 
, 
, 
schneidet 
und 
Beh: 
sind Stufenwinkel, oBdA: 
ANN: 
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | das Maß  im Scheitelpunkt  von  in der gleichen Halbebene bzgl  abtragen, es entsteht der Strahl  der mit dem Schenkel auf einen Winkel mit dem Winkelmaß  bildet
|
(Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) |
| (II) |  , es sind Stufenwinkel
|
(I), (Def. Stufenwinkel) |
| (III) | 
|
(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II) |
| (IV) | und  mit  und 
|
(VSS), (III) |
--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
--> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)
