Lösung von Aufgabe 12.3: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: == Aufgabenstellung == Beweisen Sie:<br /> <u> Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br /> ::Die Summe der Größen zweier Inn...) |
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<br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss. | <br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss. | ||
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| + | == Lösung 2 ==<br />Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math>.<br />Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math> | ||
| + | Nun gilt: <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> | ||
| + | Nach Umformung erhält man: <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math>. | ||
Aktuelle Version vom 25. Juli 2010, 23:39 Uhr
Aufgabenstellung
Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz
- Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Lösung 1
Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu Aufgabe 12.2.
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit 
bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann 
.
Voraussetzung: Dreieck 
Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | Es gilt:  und 
|
schwacher Außenwinkelsatz |
| (II) | 
|
Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär. |
| (III) | 
|
(II), Algebraische Umformung |
| (IV) |  und 
|
(I), (III) |
| (V) |  und 
|
(IV), Algebraische Umformung |
| (VI) | Es gilt:  und 
|
schwacher Außenwinkelsatz |
| (VII) |  und 
|
Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V) |
Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.
--Heinzvaneugen 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)
== Lösung 2 ==
Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass .
Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung:
Nun gilt:
Nach Umformung erhält man: .
