Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

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<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 
<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 
<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.
 
<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.
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<br />Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> mit dem selben Abstand zu <math>\ P</math>
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<br /><br />Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> existieren?
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<br /> Re --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:32, 15. Jul. 2010 (UTC): Beweis wurde nun weiter unten aufgeführt. Funktioniert das so?
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! Nr.
 
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! style="background: #FFDDDD;"|(I)
 
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| <math>\ |AP| = |BP|</math>
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| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>  
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| Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal
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| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
 
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! style="background: #FFDDDD;"|(II)
 
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| Es existiert ein Mittelpunkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>
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| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
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| Eindeutigkeit des Mittelpunktes
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| Winkelkonstruktionsaxiom
 
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! style="background: #FFDDDD;"|(III)
 
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| <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math>
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| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
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| Gleichschenkliges Dreieck, Basiswinkelsatz
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| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
 
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! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
 
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| <math>\overline{AMP} \cong \overline{BMP}</math>
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| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
−
| SWS - (I), (II), (III)
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| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
−
<br />(I) <math>\ |AP| = |BP|</math> --> S
+
−
<br />(III) <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math> --> W
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−
<br />(II) <math>\ |AM| = |MB|</math> (Definition Mittelpunkt) --> S
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! style="background: #FFDDDD;"|(V)
 
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
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| <math>\angle AMP \cong \angle BMP</math>
+
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
−
| (IV), Dreieckskongruenz
+
| SWS
 +
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 +
<br />W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 +
<br />S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
 
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! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
 
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
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| <math>|\angle AMP| = |\angle BMP| = 90</math>
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| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
−
| (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel
+
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)  
−
|}
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−
<br />Es existiert ein Strahl <math>\ MP^+</math>, der mit <math>\ MA^+</math> oder <math>\ MB^+</math> einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math> (da <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> und <math>\ M \in g</math>), die durch <math>\ P</math> geht.
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<br />zu Schritt (I): Im weiteren Beweis wird klar, was man schon länger vermutete: dass ein Punkt <math>\ P</math> zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade <math>\ g</math> einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von <math>\ P</math> auf dem Strahl <math>\ p</math> antragen und keinen Schnittpunkt mit <math>\ g</math> erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden).
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<br />Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt <math>\ A \in g</math> und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke <math>|\overline{PA}|</math> auf einem zweiten Strahl von <math>\ P</math> aus an und finden so den Punkt <math>\ B \in g</math>.
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<br />Falls es keinen zweiten Punkt gibt, wählen wir von diesem Punkt <math>\ A \in g</math> eine beliebige Strecke, die wir "auf der Geraden <math>\ g</math>" abtragen und nun einen Punkt <math>\ A' \in g</math> bekommen und in der anderen Halbebene bzgl. <math>\ PA</math> einen weiteren Punkt mit dem selben Abstand.
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<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)
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|+Beweis Hilfskonstruktion
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! Beweisschritt
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! Begründung
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| Es existiert eine Gerade <math>\ h</math> zwischen einem beliebigen Punkt <math>\ Q \in g</math> und dem Punkt <math>\ P \notin g</math>
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| AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
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! style="background: #FFDDDD;"|(II)
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| Der Abstand <math>\ |PQ|</math> ist eindeutig (aber nicht eineindeutig) und meßbar
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| Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
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! style="background: #FFDDDD;"|(III)
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| Fallunterscheidung:
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#Es existiert nur der Punkt <math>\ Q \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math>
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#Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math>
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| Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen.
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<br />Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} </math> und <math>\overline {PQ''} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ \alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ \beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'}</math> (<math>\ \beta</math>) ein rechter Winkel sein. Dies ist nicht möglich! (siehe [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]])
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<br />Es bleiben Fall 1 und 2!
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| weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt <math>\ Q \in g</math> gibt, der den Abstand <math>\ |PQ|</math> zu <math>\ P</math> hat, dann existieren die Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math>, die bezüglich der Geraden <math>\ PQ</math> in unterschiedlichen Halbebenen liegen. Es gilt <math>\ |AQ| = |QB|</math>.
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| Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen)
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! style="background: #FFDDDD;"|(V)
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| In allen möglichen Fällen lassen sich zwei Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> konstruieren, die zu <math>\ P \notin g</math> den selben Abstand haben!
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| (I) - (IV)
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|-
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! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
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| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
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| (VI), Definition Lot
 
|}
 
|}
  
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Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
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<br />Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
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<ggb_applet width="1116" height="616"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
  
 
==== Eindeutigkeit ====
 
==== Eindeutigkeit ====

Aktuelle Version vom 24. Juli 2010, 10:07 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Existenz

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g
Behauptung: Es existiert ein Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf \ g, die durch \ P geht.

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Punkt A \in g, der Abstand zu P beträgt |AP| \ Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II) Am Scheitelpunkt A \ wird an der Gerade g \ der Winkel \alpha \ in die Halbebene g,P^- \ abgetragen. Winkelkonstruktionsaxiom
(III) Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von \ |AP| ab. Es entsteht der Punkt \ P'. Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV) \ PP' \cap g . Der Schnittpunkt sei \ L. \ P und \ P' liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf \ g .
(V) Es entstehen zwei kongruente Dreiecke \overline {PLA} und \overline {P'LA} SWS

S - \overline {PA} \cong \overline {P'A} (III)
W - \alpha \cong \alpha' (II)
S - \overline {AL} \cong \overline {AL} trivial

(VI) Die Winkel an \ L sind rechte Winkel (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII) \ PL steht senkrecht auf \ g \rightarrow PL ist Lotgerade, \overline {PL} \ ist Lot(strecke) (VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel \alpha' \ bezüglich AP \ in der selben Halbebene liegt wie \alpha \ . An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --Barbarossa 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)
Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--Barbarossa 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g, Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von \ P auf \ g.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von \ P auf \ g.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt \ L'

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Dreieck \overline {PLL'} VSS, Punkte \ L L' P sind nicht kollinear, da \ L \in g \and L' \in g \and P \notin g laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II) |\angle LL'P| = 90 Annahme, \ L' ist Lotfußpunkt
(III) |\angle PLL'| = 90 VSS, \ L ist Lotfußpunkt
(IV) Außenwinkel von |\angle LL'P| = 90 Supplementaxiom
(V) |\angle PLL'| < Außenwinkel von |\angle LL'P|


|\angle PLL'| < 90

Schwacher Außenwinkelsatz
(VI) Annahme muss verworfen werden Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!


--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

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