Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math> | | Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math> | ||
− | | VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear | + | | VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
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| <math>|\angle LL'P| = 90</math> | | <math>|\angle LL'P| = 90</math> | ||
− | | | + | | Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt |
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Version vom 13. Juli 2010, 01:24 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |