Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>. | Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>. | ||
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==== Existenz ==== | ==== Existenz ==== | ||
+ | Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math> | ||
+ | <br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | ||
+ | <br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht. | ||
+ | <br />Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> mit dem selben Abstand zu P | ||
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+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | <math>\ |AP| = |BP|</math> | ||
+ | | Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | Es existiert ein Mittelpunkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>. | ||
+ | | Eindeutigkeit des Mittelpunktes | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math> | ||
+ | | Gleichschenkliges Dreieck | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math>\overline{AMP} \cong \overline{BMP}</math> | ||
+ | | SWS - (I), (II), (III) | ||
+ | <br />(I) <math>\ |AP| = |BP|</math> --> S | ||
+ | <br />(III) <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math> --> W | ||
+ | <br />(II) <math>\ |AM| = |MB|</math> (Definition Mittelpunkt) --> S | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
+ | | <math>\angle AMP \cong \angle BMP</math> | ||
+ | | (IV), Dreieckskongruenz | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VI) | ||
+ | | <math>|\angle AMP| = |\angle BMP| = 90</math> | ||
+ | | (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel | ||
+ | |} | ||
+ | <br />Es existiert ein Strahl <math>MP^+</math>, der mit <math>MA^+</math> oder <math>MB^+</math> einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math> (da <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math>), die durch <math>\ P</math> geht. | ||
+ | <br />zu Schritt (I): Es ist ein leichtes (sag ich mal so), zu beweisen, dass ein Punkt <math>\ P</math> zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade <math>\ g</math> einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von <math>\ P</math> auf dem Strahl <math>\ p</math> antragen und keinen Schnittpunkt mit <math>\ g</math> erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt <math>\ A \in g</math> und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke <math>|\overline{PA}|</math> auf einem beliebigen zweiten Strahl <math>\ p_2</math> von <math>\ P</math> aus an und finden so den Punkt <math>\ B \in g</math> | ||
+ | <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC) | ||
==== Eindeutigkeit ==== | ==== Eindeutigkeit ==== | ||
− | + | Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | |
<br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | <br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | ||
<br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | <br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | ||
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| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! | | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! | ||
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+ | <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC) |
Version vom 13. Juli 2010, 02:27 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte und mit dem selben Abstand zu P
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal | |
(II) | Es existiert ein Mittelpunkt der Strecke . | Eindeutigkeit des Mittelpunktes |
(III) | Gleichschenkliges Dreieck | |
(IV) | SWS - (I), (II), (III)
| |
(V) | (IV), Dreieckskongruenz | |
(VI) | (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel |
Es existiert ein Strahl , der mit oder einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf (da und ), die durch geht.
zu Schritt (I): Es ist ein leichtes (sag ich mal so), zu beweisen, dass ein Punkt zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von auf dem Strahl antragen und keinen Schnittpunkt mit erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke auf einem beliebigen zweiten Strahl von aus an und finden so den Punkt
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)