Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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− | | Der Abstand <math> | + | | Der Abstand <math>\ |PQ|</math> ist eindeutig (aber nicht eineindeutig) und meßbar |
| Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | | Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | ||
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#Es existiert nur der Punkt <math>\ Q \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | #Es existiert nur der Punkt <math>\ Q \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | ||
#Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | #Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | ||
− | | Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} und \overline {PQ} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'} (\ beta | + | | Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. |
+ | <br />Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} und \overline {PQ} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ \alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ \beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'}</math> (<math>\ \beta</math>) ein rechter Winkel sein. Dies ist nicht möglich! (siehe [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]]) | ||
+ | <br />Es bleiben Fall 1 und 2! | ||
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− | | Fall 1: Wenn es | + | | weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt <math>\ Q \in g</math> gibt, der den Abstand <math>\ |PQ|</math> zu <math>\ P</math> hat, dann existieren die Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math>, die bezüglich der Geraden <math>\ PQ</math> in unterschiedlichen Halbebenen liegen. Es gilt <math>\ |AQ| = |QB|</math>. |
− | | Axiom | + | | Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen) |
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− | | | + | | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei beliebige Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> konstruieren, die zu <math>\ P \in g</math> den selben Abstand haben! |
− | | | + | | (I) - (IV) |
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Version vom 15. Juli 2010, 02:04 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte und mit dem selben Abstand zu
Kommentar --*m.g.* 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte und existieren?
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal | |
(II) | Es existiert ein Mittelpunkt der Strecke | Eindeutigkeit des Mittelpunktes |
(III) | Gleichschenkliges Dreieck | |
(IV) | SWS - (I), (II), (III)
| |
(V) | (IV), Dreieckskongruenz | |
(VI) | (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel |
Es existiert ein Strahl , der mit oder einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf (da und ), die durch geht.
zu Schritt (I): Es ist ein leichtes (sag ich mal so), zu beweisen, dass ein Punkt zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von auf dem Strahl antragen und keinen Schnittpunkt mit erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke auf einem beliebigen zweiten Strahl von aus an und finden so den Punkt
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert eine Gerade zwischen einem beliebigen Punkt und dem Punkt | AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) |
(II) | Der Abstand ist eindeutig (aber nicht eineindeutig) und meßbar | Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
(III) | Fallunterscheidung:
|
Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen.
|
(IV) | weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt gibt, der den Abstand zu hat, dann existieren die Punkte und , die bezüglich der Geraden in unterschiedlichen Halbebenen liegen. Es gilt . | Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen) |
(V) | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei beliebige Punkte und konstruieren, die zu den selben Abstand haben! | (I) - (IV) |
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)