Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> mit dem selben Abstand zu <math>\ P</math> | <br />Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> mit dem selben Abstand zu <math>\ P</math> | ||
<br /><br />Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> existieren? | <br /><br />Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> existieren? | ||
+ | <br /> Re --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:32, 15. Jul. 2010 (UTC): Beweis wurde nun weiter unten aufgeführt. Funktioniert das so? | ||
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| <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math> | | <math>\angle PAB \cong \angle PBA</math> | ||
− | | Gleichschenkliges Dreieck | + | | Gleichschenkliges Dreieck, Basiswinkelsatz |
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| (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel | | (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel | ||
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− | <br />Es existiert ein Strahl <math>\ MP^+</math>, der mit <math>\ MA^+</math> oder <math>\ MB^+</math> einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math> (da <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math>), die durch <math>\ P</math> geht. | + | <br />Es existiert ein Strahl <math>\ MP^+</math>, der mit <math>\ MA^+</math> oder <math>\ MB^+</math> einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math> (da <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> und <math>\ M \in g</math>), die durch <math>\ P</math> geht. |
− | <br />zu Schritt (I): | + | <br />zu Schritt (I): Im weiteren Beweis wird klar, was man schon länger vermutete: dass ein Punkt <math>\ P</math> zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade <math>\ g</math> einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von <math>\ P</math> auf dem Strahl <math>\ p</math> antragen und keinen Schnittpunkt mit <math>\ g</math> erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). |
+ | <br />Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt <math>\ A \in g</math> und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke <math>|\overline{PA}|</math> auf einem zweiten Strahl von <math>\ P</math> aus an und finden so den Punkt <math>\ B \in g</math>. | ||
+ | <br />Falls es keinen zweiten Punkt gibt, wählen wir von diesem Punkt <math>\ A \in g</math> eine beliebige Strecke, die wir "auf der Geraden <math>\ g</math>" abtragen und nun einen Punkt <math>\ A' \in g</math> bekommen und in der anderen Halbebene bzgl. <math>\ PA</math> einen weiteren Punkt mit dem selben Abstand. | ||
<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC) | <br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC) | ||
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#Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | #Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | ||
| Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. | | Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. | ||
− | <br />Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} und \overline {PQ} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ \alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ \beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'}</math> (<math>\ \beta</math>) ein rechter Winkel sein. Dies ist nicht möglich! (siehe [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]]) | + | <br />Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} </math> und <math>\overline {PQ''} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ \alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ \beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'}</math> (<math>\ \beta</math>) ein rechter Winkel sein. Dies ist nicht möglich! (siehe [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]]) |
<br />Es bleiben Fall 1 und 2! | <br />Es bleiben Fall 1 und 2! | ||
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− | | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei | + | | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> konstruieren, die zu <math>\ P \notin g</math> den selben Abstand haben! |
| (I) - (IV) | | (I) - (IV) | ||
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Version vom 15. Juli 2010, 02:32 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte und mit dem selben Abstand zu
Kommentar --*m.g.* 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte und existieren?
Re --Heinzvaneugen 00:32, 15. Jul. 2010 (UTC): Beweis wurde nun weiter unten aufgeführt. Funktioniert das so?
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal | |
(II) | Es existiert ein Mittelpunkt der Strecke | Eindeutigkeit des Mittelpunktes |
(III) | Gleichschenkliges Dreieck, Basiswinkelsatz | |
(IV) | SWS - (I), (II), (III)
| |
(V) | (IV), Dreieckskongruenz | |
(VI) | (V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel |
Es existiert ein Strahl , der mit oder einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf (da und und ), die durch geht.
zu Schritt (I): Im weiteren Beweis wird klar, was man schon länger vermutete: dass ein Punkt zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von auf dem Strahl antragen und keinen Schnittpunkt mit erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden).
Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke auf einem zweiten Strahl von aus an und finden so den Punkt .
Falls es keinen zweiten Punkt gibt, wählen wir von diesem Punkt eine beliebige Strecke, die wir "auf der Geraden " abtragen und nun einen Punkt bekommen und in der anderen Halbebene bzgl. einen weiteren Punkt mit dem selben Abstand.
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert eine Gerade zwischen einem beliebigen Punkt und dem Punkt | AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) |
(II) | Der Abstand ist eindeutig (aber nicht eineindeutig) und meßbar | Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
(III) | Fallunterscheidung:
|
Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen.
|
(IV) | weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt gibt, der den Abstand zu hat, dann existieren die Punkte und , die bezüglich der Geraden in unterschiedlichen Halbebenen liegen. Es gilt . | Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen) |
(V) | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei Punkte und konstruieren, die zu den selben Abstand haben! | (I) - (IV) |
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)