Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

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<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 
<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 
<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.
 
<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.
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| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
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| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
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Version vom 20. Juli 2010, 11:55 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Existenz

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g
Behauptung: Es existiert ein Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf \ g, die durch \ P geht.

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Punkt A \in g, der Abstand zu P beträgt |AP| \ Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II) tbc
(III)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
(VIII)
(IX)
(X)


Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g, Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von \ P auf \ g.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von \ P auf \ g.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt \ L'

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Dreieck \overline {PLL'} VSS, Punkte \ L L' P sind nicht kollinear, da \ L \in g \and L' \in g \and P \notin g laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II) |\angle LL'P| = 90 Annahme, \ L' ist Lotfußpunkt
(III) |\angle PLL'| = 90 VSS, \ L ist Lotfußpunkt
(IV) Außenwinkel von |\angle LL'P| = 90 Supplementaxiom
(V) |\angle PLL'| < Außenwinkel von |\angle LL'P|


|\angle PLL'| < 90

Schwacher Außenwinkelsatz
(VI) Annahme muss verworfen werden Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!


--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)