Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. Juli 2010, 12:28 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $\ P$ auf eine Gerade $\ g$ .

Existenz

Voraussetzung: Gerade $\ g$ , Punkt $\ P \notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $\ l$ von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $\ g$ , die durch $\ P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A \in g$ , der Abstand zu P beträgt $\|AP\| \$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A \$ wird an der Gerade $g \$ der Winkel $\alpha \$ in die Halbebene $g,P^- \$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen
(IV)	IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L
(V)	IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS
(VI)	IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel
(VII)	IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke)

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel $\alpha \$ bezüglich $AP^+ \$ in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $\ g$ , Punkt $\ P \notin g$ , Lot $\ l$ von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$ .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $\ P$ auf $\ g$ .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $\ L'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline {PLL'}$	VSS, Punkte $\ L L' P$ sind nicht kollinear, da $\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$\|\angle LL'P\| = 90$	Annahme, $\ L'$ ist Lotfußpunkt
(III)	$\|\angle PLL'\| = 90$	VSS, $\ L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $\|\angle LL'P\| = 90$	Supplementaxiom
(V)	$\|\angle PLL'\| <$ Außenwinkel von $\|\angle LL'P\|$ $\|\angle PLL'\| < 90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

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+| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
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+| Winkelkonstruktionsaxiom
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+| IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen
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+| IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L
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+| IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS
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+| IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel
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+| IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke)
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+Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha \ </math> bezüglich <math>AP^+ \ </math> in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
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