Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $\ P$ auf eine Gerade $\ g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $\ g$, die durch $\ P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A \in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP| \$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A \$ wird an der Gerade $g \$ der Winkel $\alpha \$ in die Halbebene $g,P^- \$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen
(IV)	IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L
(V)	IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS
(VI)	IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel
(VII)	IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke)

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel $\alpha \$ bezüglich $AP^+ \$ in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$, Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $\ P$ auf $\ g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $\ L'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline {PLL'}$	VSS, Punkte $\ L L' P$ sind nicht kollinear, da $\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\angle LL'P| = 90$	Annahme, $\ L'$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\angle PLL'| = 90$	VSS, $\ L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\angle LL'P| = 90$	Supplementaxiom
(V)	$|\angle PLL'| <$ Außenwinkel von $|\angle LL'P|$ $|\angle PLL'| < 90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)