Lösung von Aufgabe 12.4
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Punkt , der Abstand zu P beträgt | Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(II) | Am Scheitelpunkt wird an der Gerade der Winkel in die Halbebene abgetragen. | Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von an. Es entsteht der Punkt . | Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(IV) | . Der Schnittpunkt sei . | Axiom III.2: Das Axiom von Pasch |
(V) | Es entstehen zwei kongruente Dreiecke und | SWS
S - (III)
|
(VI) | Die Winkel an sind rechte Winkel | (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel) |
(VII) | steht senkrecht auf ist Lotgerade, ist Lot(strecke) | (VI), Definition Lot |
Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel bezüglich in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)