Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $\ P$ auf eine Gerade $\ g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $\ g$, die durch $\ P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A \in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP| \$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A \$ wird an der Gerade $g \$ der Winkel $\alpha \$ in die Halbebene $g,P^- \$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von $\ |AP|$ ab. Es entsteht der Punkt $\ P'$.	Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV)	$\ PP' \cap g$. Der Schnittpunkt sei $\ L$.	$\ P$ und $\ P'$ liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf $\ g$.
(V)	Es entstehen zwei kongruente Dreiecke $\overline {PLA}$ und $\overline {P'LA}$	SWS S - $\overline {PA} \cong \overline {P'A}$ (III) W - $\alpha \cong \alpha'$ (II) S - $\overline {AL} \cong \overline {AL}$ trivial
(VI)	Die Winkel an $\ L$ sind rechte Winkel	(IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII)	$\ PL$ steht senkrecht auf $\ g \rightarrow PL$ ist Lotgerade, $\overline {PL} \$ ist Lot(strecke)	(VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel $\alpha' \$ bezüglich $AP \$ in der selben Halbebene liegt wie $\alpha \$. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$, Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $\ P$ auf $\ g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $\ L'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline {PLL'}$	VSS, Punkte $\ L L' P$ sind nicht kollinear, da $\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\angle LL'P| = 90$	Annahme, $\ L'$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\angle PLL'| = 90$	VSS, $\ L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\angle LL'P| = 90$	Supplementaxiom
(V)	$|\angle PLL'| <$ Außenwinkel von $|\angle LL'P|$ $|\angle PLL'| < 90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)