Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

Das Dreieck $\overline{ABC}$ wird an Punkt D um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!

• Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB.

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt.

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC.

Frage: Um S kann das Dreieck ABC auf das Dreieck A"B"C" gedreht werden und jeder Urpunkt fällt mit seinem Bildpunkt zusammen.

Tatjana1

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2).
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°.
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind)
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)... 5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --Hakunamatata 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)