Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

Das Dreieck $\overline{ABC}$ wird an Punkt D um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!

• Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB.

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt.

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC.

Frage: Um S kann das Dreieck ABC auf das Dreieck A"B"C" gedreht werden und jeder Urpunkt fällt mit seinem Bildpunkt zusammen.

Tatjana1

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2).
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°.
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind)
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)... 5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --Hakunamatata 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)

• Tatjana!, in dieser Applikation ist es tatsächlich so, dass der Schnittpunkt von BC und B``C`` fast dem Drehpunkt entspricht. Das ist allerdings Zufall. Verändere ich z.B. die Größe des Dreiecks, stimmt dies nicht mehr. Somit ist deine Konstruktion nicht allgemein gültig und kann auch nicht begründet werden. Deine Erklärungen sind lediglich Begründungen, die sich auf diese Skizze beziehen.--Tutorin Anne 13:30, 4. Feb. 2013 (CET)
• Hakunamatata, dein Ansatz ist sehr gut. Schritt 1 + 2 kannst du so konstruieren. Mit der Konstruktion der parallelen Geraden musst du dann aufpassen und genau beschreiben. Welchen Abstand müssen sie haben? Wie müssen sie genau liegen? Beides muss genau festgelegt werden, damit eine Verschiebung in genau die Vektorrichtung und Vektorlänge erfolgt! Schritt 4 + 5 kannst du dann in angepasster Form wieder übernehmen.--Tutorin Anne 13:30, 4. Feb. 2013 (CET)

• Und wieeee falsch das war..!Jetzt habe ich es verstanden!! Tatjana1
  

Also die Verschiebung ist ja immer der doppelte Abstand der beiden parallelen Geraden. Da wir hier den Vektor haben, ist der Abstand halb so groß wie unsere Verschiebung.... Die Gerade muss dann auch senkrecht zu unserer Vektorgeraden liegen, da wir ja sonst nicht die gewünschte Verschiebung um den Vektor hätten?!?! Ist es so richtig?!?--Hakunamatata 18:17, 5. Feb. 2013 (CET)

• Ja! Hier die Konstruktion--Tutorin Anne 13:58, 6. Feb. 2013 (CET)